ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 823
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Φεβ 10, 2018 11:00 am

Σε τρίγωνο ABC αποδείξτε ότι

\displaystyle cosA+cosB+cosC\leq \frac{7}{6}+\frac{1}{3}cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6033
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Φεβ 13, 2018 7:47 am

Η ζητούμενη είναι άμεση συνέπεια των

\displaystyle{\color{red}\bullet} \displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R},}

\displaystyle{\color{red}\bullet} \displaystyle{\cos \frac{A-B}{2}\geq \sqrt{\frac{2r}{R}}}.

Πράγματι, τότε αρκεί να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{7}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2r}{R}}^3\geq 1+\frac{r}{R},}

δηλαδή ότι

\displaystyle{\frac{7}{6}+\frac{x^3}{3}\geq 1+\frac{x^2}{2}\iff (2x+1)(x-1)^2\geq 0,}

όπου τέθηκε \displaystyle{\sqrt{\frac{2r}{R}}=x.}


Μάγκος Θάνος
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 823
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Φεβ 19, 2018 7:00 pm

Κατ' αρχήν να ευχαριστήσω το Θάνο για τη λύση του.
Θέλω να γράψω το πώς κατέληξα στην ανισότητα αυτή.


Στην παρακάτω δημοσίευση viewtopic.php?f=58&t=38752&p=294965#p294965 αποδείχθηκε ότι

\displaystyle\sigma \upsilon \nu^{2}  \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}+\sigma \upsilon \nu ^{2} \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}+\sigma \upsilon \nu^{2}  \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}-1=2\cdot \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{B}- \hat{\Gamma }}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{\Gamma}- \hat{A }}{2}\cdot\sigma \upsilon \nu  \frac{\hat{A}- \hat{B }}{2}

Μετά θυμήθηκα μια άλλη δημοσίευση , την viewtopic.php?f=112&t=41248&p=192177&hi ... .1#p192177

Από εκεί και μετά η ανισότητα της δεύτερης παραπομπής δίνει την προτεινόμενη ανισότητα αν αντικατασταθεί το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων από την πρώτη παραπομπή.

Και κάτι ακόμα...

H προτεινόμενη ανισότητα γράφεται επίσης ως

\displaystyle1+\frac{r}{R}\leq \frac{7}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\upsilon _{\alpha }}{\delta _{\alpha }}\cdot \frac{\upsilon _{\beta  }}{\delta _{\beta  }}\cdot\frac{\upsilon _{\gamma }}{\delta _{\gamma }}

που ισοδυναμεί με την

\displaystyle\frac{r}{R}\leq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\upsilon _{\alpha }}{\delta _{\alpha }}\cdot \frac{\upsilon _{\beta  }}{\delta _{\beta  }}\cdot\frac{\upsilon _{\gamma }}{\delta _{\gamma }}

η οποία είναι πιο σφικτή από την ανισότητα Euler R\leq2r


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης