Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , το μέσον της πλευράς του . Από τυχόν σημείο της μεσοκάθετης ευθείας της πλευράς , φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των , οι οποίες τέμνουν στα σημεεία αντιστοίχως, τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία . Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
Κώστας Βήττας.
- Συνημμένα
-
- Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
- f=181_t=61273.png (21.02 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Καλημέρα Κώστα,vittasko έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 15, 2018 10:46 pmΔίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω , το μέσον της πλευράς του . Από τυχόν σημείο της μεσοκάθετης ευθείας της πλευράς , φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των , οι οποίες τέμνουν στα σημεεία αντιστοίχως, τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία . Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
Έστω και ας είναι και οι ορθές προβολές του στις και αντίστοιχα.
Τότε από και σύμφωνα με το https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml προκύπτει ότι
και και από ,
Είναι (μεσοκάθετης της ) και (προβολές των ίσων πλευρών στις ίσες πλευρές αντίστοιχα των προφανώς (λόγω συμμετρίας ως προς την ) των ίσων τριγώνων
Από
Από την σύμφωνα με το αντίστροφο του πιο πάνω θεωρήματος προκύπτει ότι και με ( απόστημα σε χορδή κύκλου) προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Μιας και σχολάσαμε νωρίτερα σήμερα ας ανεβάσω μια άλλη λύση:
Λόγω του ότι αρκεί .
Από τη συνθήκη καθετότητας ξέρουμε πως αφού είναι .
Όμοια είναι και .
Όμως , άρα είναι:
(1).
Από Πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα και , έχουμε ότι και .
Επομένως (2).
Από (1) και (2) έχουμε πως:
άρα από τη συνθήκη καθετότητας έχουμε ότι .
Λόγω του ότι αρκεί .
Από τη συνθήκη καθετότητας ξέρουμε πως αφού είναι .
Όμοια είναι και .
Όμως , άρα είναι:
(1).
Από Πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα και , έχουμε ότι και .
Επομένως (2).
Από (1) και (2) έχουμε πως:
άρα από τη συνθήκη καθετότητας έχουμε ότι .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Για την περίπτωση που το σημείο δεν ορίζεται, δηλαδή, όταν τα , είναι αντιδιαμετρικά, τότε μπορούμε να αποδείξουμε την παραλληλία με το κριτήριο καθετότητας που χρησιμοποίησε και ο Δ. Αδαμόπουλος , που άλλωστε και η απόδειξη του Θ. Steiner βασίζεται σε αυτό το κριτήριο.
- Συνημμένα
-
- steiner-vitt_2.png (34.4 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης