Δυο σας και μόνο μου

KARKAR · #1

: Δυό σας και μόνο μου.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Στο εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD

, με :

, θεωρούμε σημεία S,T

των

αντίστοιχα ,

ώστε : $\widehat{SAT}=\dfrac{\widehat{BAD}}{2}$ . Δείξτε ότι : ST=BS+TD

. ( Από διαγωνισμό , ο οποίος θα γίνει γνωστός )

ksofsa · #2

: geogebra-export(7).png (231.34 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Αλλάζω τους συμβολισμούς , ώστε να συμφωνούν με το σχήμα.

Έστω $\Theta$ το περίκεντρο του BZH

.Τότε το τετράπλευρο $\Theta EZH$ εγγράψιμο.

Το $\Theta$ πάνω στην

, διότι $\angle BE\Delta =\angle ZE\Theta =\dfrac{\angle \Gamma E\Delta }{2}$ .

Από θ. Πτολεμαίου στα $B\Delta E\Gamma ,\Theta ZEH$ έχουμε:

$ZE+EH =\dfrac{\Theta E\cdot ZH}{\Theta Z},\Gamma E+E\Delta =\dfrac{BE\cdot \Gamma \Delta }{B\Delta }$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις, παίρνουμε

$\Gamma H+\Delta Z=\dfrac{BE\cdot \Gamma \Delta }{B\Delta }-\dfrac{\Theta E\cdot ZH}{\Theta Z}$

Επομένως, αρκεί:

$\dfrac{BE\cdot \Gamma \Delta }{B\Delta }-\dfrac{\Theta E\cdot ZH}{\Theta Z}=ZH\Leftrightarrow \dfrac{BE\cdot \Gamma \Delta }{B\Delta }=\dfrac{ZH(\Theta E+\Theta Z)}{\Theta Z}\Leftrightarrow \dfrac{BE\cdot \Gamma \Delta }{B\Delta }=\dfrac{ZH\cdot(\Theta E+\Theta B)}{\Theta Z}$

$\dfrac{\Gamma \Delta }{B\Delta }=\dfrac{ZH}{\Theta Z}$ , που ισχύει λόγω της ομοιότητας των τριγώνων $\Theta ZH,B\Delta \Gamma$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2023 8:09 pm
Δυό σας και μόνο μου.pngΣτο εγγράψιμο τετράπλευρο , με : , θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα ,

ώστε : $\widehat{SAT}=\dfrac{\widehat{BAD}}{2}$ . Δείξτε ότι : . ( Από διαγωνισμό , ο οποίος θα γίνει γνωστός )

Πολυ βαρύς ο φάκελος για αυτο το θέμα Θανάση

Στην καλλιτερη του να πάει στην Α Λυκείου

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2023 8:09 pm
Δυό σας και μόνο μου.pngΣτο εγγράψιμο τετράπλευρο , με : , θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα ,

ώστε : $\widehat{SAT}=\dfrac{\widehat{BAD}}{2}$ . Δείξτε ότι : . ( Από διαγωνισμό , ο οποίος θα γίνει γνωστός )

Και για όσα ισχυρίζομαι ...

" Κολανε το

στην προέκταση του

και με δυο στοιχειώδης ισότητες τριγώνων τελειώσαμε

Η εφαρμογή της παραπάνω λύσης αφήνεται στους μαθητές

KARKAR · #5

Δανεισμένη από εδώ , άσκηση

. Στάθη , η άσκηση - αν δεις το τέχνασμα -

γίνεται όντως εύκολη , νομίζω πάντως ότι για "Θαλή" είναι ότι πρέπει !

Δυο σας και μόνο μου

Δυο σας και μόνο μου

Re: Δυο σας και μόνο μου

Re: Δυο σας και μόνο μου

Re: Δυο σας και μόνο μου

Re: Δυο σας και μόνο μου

Μέλη σε σύνδεση