Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Μια απόδειξη ολίγον τηλεγραφική, η οποία αν και είναι ομολογουμένως άσχημη, έχει το πλεονέκτημα ότι μας δείχνει ότι η ανισότητα ισχύει όχι μόνο για τέσσερα σημεία του επιπέδου, αλλά για οποιαδήποτε τέσσερα σημεία του χώρου.

Για συντομία στη γραφή θέτω $\displaystyle{AB=x, BC=y, CA=z, AD=k, BD=m,CD=n.}$

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{x}{k+m}+\frac{y}{m+n}\geq \frac{z}{k+n}.}$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε

$\displaystyle{\frac{x}{k+m}+\frac{y}{m+n}\geq \frac{(x+y)^2}{xk+xm+ym+yn},}$

οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{(x+y)^2(k+n)\geq zxk+zxm+zym+zyn.}$

Αυτή όμως γράφεται ως

$\displaystyle{(x+y-z)(xk+yn)+(x+y)(xn+yk-zm)\geq 0}$ ,

η οποία ισχύει, αφού

$\displaystyle{x+y-z=AB+BC-CA\geq 0,}$ λόγω της ανισότητας του τριγώνου

και

$\displaystyle{xn+yk-zm=AB\cdot CD+BC\cdot AD-AC\cdot BD\geq 0,}$ λόγω της ανισότητας του Πτολεμαίου.

Ορέστη ποια απόδειξη έχεις; Μου κάνει εντύπωση που την τοποθέτησες στον φάκελο Θαλή/Ευκλείδη.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2023 8:38 pm

Την ίδια έχουμε, αλλά δεν μπορούσα να διαχωρίσω τον φάκελο.

Για παράδειγμα: Η παρακάτω σε πιο φάκελο μπαίνει ;

Έστω $a,\,\,b>0\,\,$ και ${{a}^{2}}+ab+9{{b}^{2}}=1$ . Δείξτε ότι $-\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{4}\le \displaystyle\frac{a+3b}{1+ab}\le \frac{\sqrt{21}}{4}$ .

Αυτή είναι σαφώς απλούστερη και αντιμετωπίζεται μόνο με σχολικές γνώσεις, σε αντίθεση με την προηγούμενη (Cauchy-Schwarz, Ανισότητα Πτολεμαίου).

Ας την αποδείξουμε και αυτήν:

Η ζητούμενη γράφεται

$\displaystyle{\left|\frac{a+3b}{1+ab}\right| \leq \frac{\sqrt{21}}{4}}$

δηλαδή

$\displaystyle{16(a+3b)^2\leq 21(1+ab)^2.}$

Από τη συνθήκη έχουμε $\displaystyle{(a+3b)^2=1+5ab,}$ οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{21(1+ab)^2\geq 16(1+5ab).}$

Αυτή γράφεται $\displaystyle{(7ab-1)(3ab-5)\geq 0,}$ η οποία ισχύει, αφού

$\displaystyle{1=a^2+9b^2+ab\geq 6ab+ab=7ab,}$ οπότε $\displaystyle{ab\leq \frac{1}{7}<\frac{5}{3}.}$

Αυτή θα έλεγα ότι είναι κατάλληλη για Ευκλείδη Β' Λυκείου.

Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

Re: Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

Re: Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

Re: Μια … α ΣΧΗΜΑ τιστη Γεωμετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση