Ομοκυκλικά σημεία
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Ομοκυκλικά σημεία
Δίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοιο ώστε . Έστω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος με την ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία . Να δείξετε ότι τα σημεία , , , και είναι ομοκυκλικά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Όμορφο θέμα.achilleas έγραψε: ↑Δευ Μαρ 25, 2024 9:53 pmΔίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοιο ώστε . Έστω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος με την ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία . Να δείξετε ότι τα σημεία , , , και είναι ομοκυκλικά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Στο σχήμα που ακολουθεί η είναι προφανώς διχοτόμος της καθότι είναι κάθετη στη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας
Το είναι η τομή της με τον κύκλο Άμεσα παίρνουμε και επειδή
τα τρίγωνα θα είναι ίσα οπότε
Εδώ το πρόβλημα ως προς τη λύση του τελείωσε.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2777
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Η κάθετη από το στην τέμνει την στο οπότε είναι παραλ/μμο.achilleas έγραψε: ↑Δευ Μαρ 25, 2024 9:53 pmΔίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοιο ώστε . Έστω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος με την ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία . Να δείξετε ότι τα σημεία , , , και είναι ομοκυκλικά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Άρα και προφανώς
. Ακόμη μεσοκάθετος της άρα οπότε (λόγω και του εγγράψιμμου )
όλες οι γωνίες είναι ίσες ,συνεπώς ομοκυκλικά
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Αν είναι αυτή η ασκησούλα για Αρχιμήδη Μεγάλων, απλά λυπάμαι. π.χ ...Από το ισοσκελές παίρνουμε και από την άλλη Από και σύμφωνα με γνωστό λήμμα έπεται ότι και εδώ χαιρετάμε την άσκηση.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Δεν καταλαβαίνω αυτό το υποτιμητικό και ειρωνικό "ασκησούλα". O Αχιλλέας είναι ο πλέον αρμόδιος να κρίνει το
επίπεδο δυσκολίας των ασκήσεων στα διαγωνιστικά μαθηματικά. Αφού λοιπόν ο Αχιλλέας κρίνει ότι αυτή η άσκηση
είναι για Αρχιμήδη Seniors, τελείωσε, όσο κι αν λυπάσαι.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5959
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Ας μου επιτραπεί να μιλήσω ως άνθρωπος που θεωρώ ότι γνωρίζω περί ευρύτερων μαθηματικών διαγωνισμών, απαντώντας και μόνο στην άποψη: να τίθενται δύσκολα άπιστα θέματα (ο ορισμός της πλέον εύκολης κατάστασης, αφού πχ υπάρχει το ενδεχόμενο αντιγραφής υπερ. δύσκολου μοναδικού θέματος από κάποιο σημείο του πλανήτη που να μην το λύσει κανείς αλλά ως εκ τούτου δεν προσφέρει και κάτι για τον εδώ ιερό σκοπό) και όχι απαντώντας σε πρόσωπα που μπορεί να διαφωνώ με τις απόψεις τους αλλά δηλώνω οπαδός του Βολταίρου. Μία άσκηση για να εξεταστεί κάποιος σε επίσημο διαγωνισμό είναι άλλο πράγμα και άλλο είναι άσκηση για μαθηματική επιστημονική κουβέντα και να γίνει πόλος για βασικότερες ανιχνεύσεις πχ ταλέντων κτλ.. Μία άσκηση, όπως η παραπάνω μπορεί να προτείνεται για δύο βασικούς λόγους: ο πρώτος είναι να διεγείρει πλουραλισμό λύσεων, ώστε εκτός των άλλων να προκύψουν ιδέες και για επιλύσεις και άλλων θεμάτων, όπου από τον πλουραλισμό λύσεων εκεί μετρά και ανιχνεύεται και η ποιότητα μίας επίλυσης αλλά και η δεξιοτεχνία του λύτη ως προς την επιλογή κατάλληλης και έξυπνης μεθόδου επίλυσης (ήδη όπως πήραμε χαμπάρι το όμορφο αυτό θέμα ανέδειξε μέχρι τη στιγμή αυτή τρείς διαφορετικής νοοτροπίας καλές μεθόδους επίλυσης). Ο άλλος βασικός λόγος (όπως ποσοστό πρωτοτυπίας όσο αυτό είναι δυνατόν) είναι να διεγείρει το κατασκευαστικό περιβάλλον για δημιουργία δηλαδή μαθηματικών θεμάτων. Προφανώς και οι σοβαροί προτείνοντες προβλήματα έχουν αυτά και άλλα ουσιαστικά ως στόχο μακριά από φιγουρίτσες, ή άγρα επαγγελματικού προσανατολισμού... ή αυτοεπικυρώσεις κτλ. Καλώς λοιπόν ο Αχιλλέας, εκ των βασικών μαθηματικών προπονητών της ΕΜΕ με απόλυτα Αξιοκρατική ως τώρα ανέλιξη λόγω του Υψηλού μαθηματικού του background, πρότεινε το θέμα αυτό.george visvikis έγραψε: ↑Τρί Μαρ 26, 2024 5:59 pmΔεν καταλαβαίνω αυτό το υποτιμητικό και ειρωνικό "ασκησούλα". O Αχιλλέας είναι ο πλέον αρμόδιος να κρίνει το
επίπεδο δυσκολίας των ασκήσεων στα διαγωνιστικά μαθηματικά. Αφού λοιπόν ο Αχιλλέας κρίνει ότι αυτή η άσκηση
είναι για Αρχιμήδη Seniors, τελείωσε, όσο κι αν λυπάσαι.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Kαλημέρα μια λύση ακόμη....achilleas έγραψε: ↑Δευ Μαρ 25, 2024 9:53 pmΔίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το τέτοιο ώστε . Έστω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος με την ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία . Να δείξετε ότι τα σημεία , , , και είναι ομοκυκλικά.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Εστω
το συμμετρικό σημείο του ως προς το σημείο
Τότε το σημείο είναι το ορθόκεντρο στο τρίγωνο
Απο την ισότητα των τριγώνων
Ακομη
Οπότε το είναι εγγραψιμο σε κύκλο. Είναι
- Συνημμένα
-
- Ομοκυκλικά σημεία.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες