Όλοι σύνθετοι!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 5954
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από matha » Δευ Μάιος 20, 2013 7:33 pm

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

\displaystyle{\bullet ~A=2^{2^{4n+1}}+7,}

\displaystyle{\bullet ~B=2^{2^{6n+2}}+13,}

\displaystyle{\bullet ~ C=2^{2^{10n+1}}+19,}

\displaystyle{\bullet ~ D=2^{2^{6n+2}}+21}

είναι σύνθετοι για κάθε τιμή του φυσικού \displaystyle{n.}


Μάγκος Θάνος
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Antonis_Z » Δευ Μάιος 20, 2013 8:09 pm

Καλησπέρα.
Βάζω τη λύση μου για το 1ο.

Θα δείξουμε πως 11|A.
Εφόσον το order του 11 ως προς το 2 είναι 10 και ισχύει 2^{4n+1}\equiv 2(mod 10),θα έχουμε 2^{2^{4n+1}}\equiv 2^2(mod 11),άρα 11|A.

Νομίζω πως και τα άλλα θα βγαίνουν με την ίδια μέθοδο...


Αντώνης Ζητρίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από socrates » Παρ Οκτ 21, 2016 1:27 am

Επαναφορά! :)


Θανάσης Κοντογεώργης
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1117
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από silouan » Παρ Οκτ 21, 2016 2:13 am

Πάμε και για το Β).

Θα πάρουμε \mod 29. Αρκεί να δούμε πόσο κάνει το 2^{6n+2}\pmod{28}. Αν n=2k τότε από το θεώρημα Euler
2^{12k+2}\equiv 2^2\equiv 4\pmod{28}. Αν n=2k+1, τότε 2^{12k+8}\equiv 2^8\equiv 4\pmod{28}.

Επομένως σε κάθε περίπτωση B\equiv 2^4+13=29\equiv 0\pmod{29}.

Γιατί ο Αντώνης επέλεξε \mod 11 και εγώ \mod 29; Τι θα διαλέξουμε για το Γ;


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 460
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Οκτ 21, 2016 7:27 am

Για το γ):

Θα δείξουμε οτι ο αριθμός διαιρείται με 23. Όμως ord_{23}(2)=11 θα παρουμε λοιπόν mod 11. Θα γραψω λυση αργότερα.

Λύση:

2^{10n+1}\equiv 2\pmod {11}

2^{2^{10n+1}}=4\pmod{11} και το ζητούμενο έπεται όπως και στους άλλους τρόπους.
τελευταία επεξεργασία από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ σε Παρ Οκτ 21, 2016 3:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 21, 2016 10:56 am

matha έγραψε:Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

\displaystyle{\bullet ~A=2^{2^{4n+1}}+7,}

\displaystyle{\bullet ~B=2^{2^{6n+2}}+13,}

\displaystyle{\bullet ~ C=2^{2^{10n+1}}+19,}

\displaystyle{\bullet ~ D=2^{2^{6n+2}}+21}

είναι σύνθετοι για κάθε τιμή του φυσικού \displaystyle{n.}


Μπορούμε και με επαγωγή δείχνοντας ότι ο καθένας διαιρείται με την μικρότερη τιμή του (την n=0). Συγκεκριμένα από τους A_0=2^2+7=11, \, B_0=2^4+13=29, \, C_0=2^2+19=23, \, D_0=2^4+21=37, αντίστοιχα.

α) Για το επαγωγικό βήμα

\displaystyle{A_{n+1}-A_n= 2^{2^{4n+5}}-2^{2^{4n+1}}= 2^{32 \cdot 2^{4n}}-2^{2\cdot 2^{4n}}}

\displaystyle{= 2^{32A}-2^{2A}= 2^{2A}(2^{30A}-1)

Γράφοντας \displaystyle{2^{30A}-1 =(2^{30})^A-1 βλέπουμε ότι το τελευταίο είναι πολλαπλάσιο του
\displaystyle{2^{30}-1}. Με τη σειρά του βλέπουμε με πολλούς τρόπους ότι αυτό είναι πολλαπλάσιο του 11. Π.χ. άμεσο από Fermat αφού \displaystyle{30=3\cdot10} και \displaystyle{2^{10}\equiv 1 \mod 11} . Το ίδιο αλλιώς:
\displaystyle{2^{30}-1= 32 ^6-1\equiv ((-1)^6-1) \equiv (1-1)\equiv 0 \mod 11}.

β) Για το επαγωγικό βήμα

\displaystyle{B_{n+1}-B_n= 2^{2^{6n+8}}- 2^{2^{6n+2}}= 2^{256A} -2^{4A} = 2^{4A}( 2^{252A}-1)}

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι το \displaystyle{2^{252}-1} είναι πολλαπλάσιο του 29. Αυτό είναι απλό αφού 252=9\cdot 28 και από Fermat \displaystyle{2^{28}\equiv 1 \mod 29}

γ) Για την περίπτωση αυτή, που έμεινε αναπάντητη,

\displaystyle{C_{n+1}-C_n= 2^{2^{10n+11}}-2^{2^{10n+1}}= 2^{2048 \cdot 2^{10n}}-2^{2\cdot 2^{10n}}= 2^{2048 A}-2^{2A}= 2^{2A}(2^{2046 A}-1)}

που είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{2^{2046 }-1} . Με τη σειρά του αυτό είναι πολλαπλάσιο του 23 καθώς \displaystyle{2^{22}\equiv 1 \mod 23} και \displaystyle{2046=22\cdot 93}.

Όμοια το δ). Θα χρειαστεί ότι το \displaystyle{2^{252}-1} είναι πολλαπλάσιο του 37, που έπεται από τις 252=7\cdot 36 και \displaystyle{2^{36}\equiv 1 \mod 37}.


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Γιάννης Μπόρμπας » Σάβ Ιούλ 01, 2017 1:50 pm

Για την εύρεση του πρώτου αριθμού μπορούμε να βάλουμε n=0.



Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης