Όλοι σύνθετοι!

#1

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

$\displaystyle{\bullet ~A=2^{2^{4n+1}}+7,}$

$\displaystyle{\bullet ~B=2^{2^{6n+2}}+13,}$

$\displaystyle{\bullet ~ C=2^{2^{10n+1}}+19,}$

$\displaystyle{\bullet ~ D=2^{2^{6n+2}}+21}$

είναι σύνθετοι για κάθε τιμή του φυσικού $\displaystyle{n.}$

Antonis_Z · #2

Καλησπέρα.
Βάζω τη λύση μου για το 1ο.

Θα δείξουμε πως 11|A

.
Εφόσον το order του 11 ως προς το 2 είναι 10 και ισχύει $2^{4n+1}\equiv 2(mod 10)$ ,θα έχουμε $2^{2^{4n+1}}\equiv 2^2(mod 11)$ ,άρα 11|A

.

Νομίζω πως και τα άλλα θα βγαίνουν με την ίδια μέθοδο...

#3

Επαναφορά!

#4

Πάμε και για το Β).

Θα πάρουμε $\mod 29$ . Αρκεί να δούμε πόσο κάνει το $2^{6n+2}\pmod{28}$ . Αν n=2k

τότε από το θεώρημα Euler
$2^{12k+2}\equiv 2^2\equiv 4\pmod{28}$ . Αν n=2k+1

, τότε $2^{12k+8}\equiv 2^8\equiv 4\pmod{28}$ .

Επομένως σε κάθε περίπτωση $B\equiv 2^4+13=29\equiv 0\pmod{29}$ .

Γιατί ο Αντώνης επέλεξε $\mod 11$ και εγώ $\mod 29$ ; Τι θα διαλέξουμε για το Γ;

harrisp · #5

Για το γ):

Θα δείξουμε οτι ο αριθμός διαιρείται με

. Όμως $ord_{23}(2)=11$ θα παρουμε λοιπόν mod 11. Θα γραψω λυση αργότερα.

Λύση:

$2^{10n+1}\equiv 2\pmod {11}$

$2^{2^{10n+1}}=4\pmod{11}$ και το ζητούμενο έπεται όπως και στους άλλους τρόπους.

#6

matha έγραψε:Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

$\displaystyle{\bullet ~A=2^{2^{4n+1}}+7,}$

$\displaystyle{\bullet ~B=2^{2^{6n+2}}+13,}$

$\displaystyle{\bullet ~ C=2^{2^{10n+1}}+19,}$

$\displaystyle{\bullet ~ D=2^{2^{6n+2}}+21}$

είναι σύνθετοι για κάθε τιμή του φυσικού $\displaystyle{n.}$

Μπορούμε και με επαγωγή δείχνοντας ότι ο καθένας διαιρείται με την μικρότερη τιμή του (την n=0

). Συγκεκριμένα από τους $A_0=2^2+7=11, \, B_0=2^4+13=29, \, C_0=2^2+19=23, \, D_0=2^4+21=37$ , αντίστοιχα.

α) Για το επαγωγικό βήμα

$\displaystyle{A_{n+1}-A_n= 2^{2^{4n+5}}-2^{2^{4n+1}}= 2^{32 \cdot 2^{4n}}-2^{2\cdot 2^{4n}}}$

$\displaystyle{= 2^{32A}-2^{2A}= 2^{2A}(2^{30A}-1)$

Γράφοντας $\displaystyle{2^{30A}-1 =(2^{30})^A-1$ βλέπουμε ότι το τελευταίο είναι πολλαπλάσιο του
$\displaystyle{2^{30}-1}$ . Με τη σειρά του βλέπουμε με πολλούς τρόπους ότι αυτό είναι πολλαπλάσιο του

. Π.χ. άμεσο από Fermat αφού $\displaystyle{30=3\cdot10}$ και $\displaystyle{2^{10}\equiv 1 \mod 11}$ . Το ίδιο αλλιώς:
$\displaystyle{2^{30}-1= 32 ^6-1\equiv ((-1)^6-1) \equiv (1-1)\equiv 0 \mod 11}$ .

β) Για το επαγωγικό βήμα

$\displaystyle{B_{n+1}-B_n= 2^{2^{6n+8}}- 2^{2^{6n+2}}= 2^{256A} -2^{4A} = 2^{4A}( 2^{252A}-1)}$

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι το $\displaystyle{2^{252}-1}$ είναι πολλαπλάσιο του

. Αυτό είναι απλό αφού $252=9\cdot 28$ και από Fermat $\displaystyle{2^{28}\equiv 1 \mod 29}$

γ) Για την περίπτωση αυτή, που έμεινε αναπάντητη,

$\displaystyle{C_{n+1}-C_n= 2^{2^{10n+11}}-2^{2^{10n+1}}= 2^{2048 \cdot 2^{10n}}-2^{2\cdot 2^{10n}}= 2^{2048 A}-2^{2A}= 2^{2A}(2^{2046 A}-1)}$

που είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2^{2046 }-1}$ . Με τη σειρά του αυτό είναι πολλαπλάσιο του

καθώς $\displaystyle{2^{22}\equiv 1 \mod 23}$ και $\displaystyle{2046=22\cdot 93}$ .

Όμοια το δ). Θα χρειαστεί ότι το $\displaystyle{2^{252}-1}$ είναι πολλαπλάσιο του

, που έπεται από τις $252=7\cdot 36$ και $\displaystyle{2^{36}\equiv 1 \mod 37}$ .

Γιάννης Μπόρμπας · #7

Για την εύρεση του πρώτου αριθμού μπορούμε να βάλουμε n=0

.

Όλοι σύνθετοι!

Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Re: Όλοι σύνθετοι!

Μέλη σε σύνδεση