Διαμερισμός συνόλου

[Demetres]

Να εξεταστεί αν υπάρχει φυσικός ώστε το σύνολο να μπορεί να διαμεριστεί σε δύο ή περισσότερα υποσύνολα ώστε όλα τα υποσύνολα να έχουν το ίδιο γινόμενο στοιχείων.

[WLOG]

Ας ονομάσουμε τα σύνολα τότε το θα είναι ίσο με . Προφανώς κανένας όρος από αυτούς δεν είναι πολ. γιατί θα πρέπει να είναι και ένας άλλος, άτοπο. Άρα οι αριθμοί είναι μια αναδιάταξη των . Συνεπώς . Με βάση το θεώρημα Wilson . Άρα άτοπο, γιατί το δεν είναι υπόλοιπο τέλειας δύναμης με το .

[Demetres]

WLOG, καλωσόρισες στο

Ωραία ιδέα αλλά κάτι λείπει ακόμη για να συμπληρωθεί η λύση. Το ασφαλώς και μπορεί να είναι τέλεια δύναμη. Π.χ. .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Βασικά αυτό ισχύει αν ο αριθμός των συνόλων διαμέρισης ήταν άρτιος. Γιατί γνωρίζουμε πως το δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο , καθώς το είναι πρώτος της μορφής .

[Mihalis_Lambrou]

Αξίζει να προστεθεί ότι το αρχικό πρόβλημα έχει μία γενίκευση. Είναι το Θεώρημα Erdős-Selfridge.

Η απόδειξη της γενίκευσης είναι αρκετά δυσκολότερη. Στο παραπάνω πρόβλημα, αυτό που το κάνει σχετικά προσιτό είναι το γεγονός ότι ο είναι πρώτος, πράγμα που το παρακάμπτει η γενίκευση.

[Demetres]

Αξίζει να προστεθεί ότι το αρχικό πρόβλημα έχει μία γενίκευση. Είναι το Θεώρημα Erdős-Selfridge.

Η απόδειξη της γενίκευσης είναι αρκετά δυσκολότερη. Στο παραπάνω πρόβλημα, αυτό που το κάνει σχετικά προσιτό είναι το γεγονός ότι ο είναι πρώτος, πράγμα που το παρακάμπτει η γενίκευση.

Όντως το είχαμε δει και εδώ.

Η άσκηση πάντως (χωρίς χρήση αυτού του θεωρήματος) ακόμη δεν έχει λυθεί...

[JimNt.]

Αξίζει να προστεθεί ότι το αρχικό πρόβλημα έχει μία γενίκευση. Είναι το Θεώρημα Erdős-Selfridge.

Η απόδειξη της γενίκευσης είναι αρκετά δυσκολότερη. Στο παραπάνω πρόβλημα, αυτό που το κάνει σχετικά προσιτό είναι το γεγονός ότι ο είναι πρώτος, πράγμα που το παρακάμπτει η γενίκευση.

Όντως το είχαμε δει και εδώ.

Η άσκηση πάντως (χωρίς χρήση αυτού του θεωρήματος) ακόμη δεν έχει λυθεί...

Μένει μόνο να δείξουμε ότι το πλήθος συνόλων θα είναι άρτιο, όπως είπε και ο Διονύσης.
Τα πολλαπλάσια του , που αποτελούν στοιχεία του αρχικού συνόλου θα είναι είτε είτε σε πλήθος. Αν είναι τελειώσαμε αφού πρώτος και συνεπώς το θα διαιρεί μόνο ένα από τα γινόμενα, άτοπο. Αν είναι , τότε προφανώς τα υποσύνολα θα πρέπει να είναι σε πλήθος - άρτιος . Τελειώσαμε, νομίζω...

[Demetres]

Τελειώσαμε, νομίζω...

Ναι!