Τετράγωνο απόστασης
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Τετράγωνο απόστασης
Να βρεθεί ο ελάχιστος φυσικός ώστε αν έχουμε σημεία με ακέραιες συντεταγμένες στο επίπεδο τότε υπάρχουν δύο που το τετράγωνο της απόστασής τους είναι πολλαπλάσιο του .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τετράγωνο απόστασης
Πρόκειται για το πρόβλημα 2 της ολυμπιάδας της Βραζιλίας 2016.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 90p7304182
https://artofproblemsolving.com/communi ... 90p7304182
Re: Τετράγωνο απόστασης
Ας μην ξεχαστεί όμως. Υπάρχει απλούστερη λύση;WLOG έγραψε:Πρόκειται για το πρόβλημα 2 της ολυμπιάδας της Βραζιλίας 2016.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 90p7304182
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τετράγωνο απόστασης
Βάζω ουσιαστικά την λύση που υπάρχει εκεί (από εκεί πήρα την άσκηση) αλλά ελπίζω καλύτερα διατυπωμένη:
Έστω αρχικά ότι έχω τουλάχιστον σημεία. Από την αρχή του περιστερώνα, μπορούμε να βρούμε δύο σημεία ώστε:
Τότε και . Επίσης:
Άρα
Για να δείξουμε ότι δεν γίνεται με λιγότερα σημεία, για κάθε σημείο ορίζουμε το διάνυσμα
Από το κινέζικο θεώρημα μπορούμε να βρούμε σημεία που να δίνουν διαφορετικά διανύσματα. Μένει να δείξουμε ότι το τετράγωνο της απόστασης δυο διαφορετικών διανυσμάτων δεν είναι πολλαπλάσιο του .
Αν τα διανύσματα διαφέρουν σε μια από τις πρώτες τέσσερις συντεταγμένες, τότε αυτό έπεται από το γνωστό λήμμα που λέει ότι αν πρώτος με και τότε και .
Έστω λοιπόν ότι τα δυο διανύσματα διαφέρουν στην πέμπτη ή έκτη συντεταγμένη. Έστω και και ότι είτε είτε . Θέλω να δείξω ότι .
Έστω λοιπόν ότι . Τότε οπότε οι είναι άρτιοι. Έστω . Τότε οπότε οι είναι επίσης άρτιοι, έστω . Τότε οπότε . Τότε και οπότε και . Άτοπο αφού υποθέσαμε ότι αυτό δεν συμβαίνει.
Έστω αρχικά ότι έχω τουλάχιστον σημεία. Από την αρχή του περιστερώνα, μπορούμε να βρούμε δύο σημεία ώστε:
Τότε και . Επίσης:
Άρα
Για να δείξουμε ότι δεν γίνεται με λιγότερα σημεία, για κάθε σημείο ορίζουμε το διάνυσμα
Από το κινέζικο θεώρημα μπορούμε να βρούμε σημεία που να δίνουν διαφορετικά διανύσματα. Μένει να δείξουμε ότι το τετράγωνο της απόστασης δυο διαφορετικών διανυσμάτων δεν είναι πολλαπλάσιο του .
Αν τα διανύσματα διαφέρουν σε μια από τις πρώτες τέσσερις συντεταγμένες, τότε αυτό έπεται από το γνωστό λήμμα που λέει ότι αν πρώτος με και τότε και .
Έστω λοιπόν ότι τα δυο διανύσματα διαφέρουν στην πέμπτη ή έκτη συντεταγμένη. Έστω και και ότι είτε είτε . Θέλω να δείξω ότι .
Έστω λοιπόν ότι . Τότε οπότε οι είναι άρτιοι. Έστω . Τότε οπότε οι είναι επίσης άρτιοι, έστω . Τότε οπότε . Τότε και οπότε και . Άτοπο αφού υποθέσαμε ότι αυτό δεν συμβαίνει.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες