Putnam 2013/A2

#1

Έστω

το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων οι οποίοι δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Για $n \in S$ θεωρούμε όλες τις πιθανές επιλογές ακεραίων $a_1,\ldots,a_r$ ώστε

$\displaystyle{ n < a_1 < \cdots < a_r }$ και το $\displaystyle{n a_1 \cdots a_r}$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Ορίζουμε το f(n)

να είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του a_r

που εμφανίζεται σε αυτές τις επιλογές.

Π.χ. f(2) = 6

αφού το $2 \cdot 3 \cdot 6$ είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ τα $2 \cdot 3, 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2\cdot 3 \cdot 4, 2\cdot 3\cdot5,2\cdot 4\cdot 5,2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5$ δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

Να δειχθεί ότι η $f:S \to \mathbb{N}$ είναι ένα προς ένα.

harrisp · #2

Καλησπέρα!

Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο).
Έστω A,B

τα δυο γινόμενα με m>n

τους πρώτους όρους τους. Τότε το

είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους τελευταίους όρους θα υπάρχουν και άλλοι ίσοι όροι. Συνεπώς γράφουμε AB=k^2l

όπου

το τελειο τετράγωνο που σχηματίζουν οι ίσοι όροι. Το

πρέπει να ειναι τέλειο τετράγωνο άρα σχηματίστηκε άλλο ένα γινόμενο αυτήν την φορά με μικρότερο τελευταιο όρο (και πρώτο όρο τον

αφού στο

δεν υπαρχει και στο

υπάρχουν όροι μεγαλύτεροι απο το

δηλ. μεγαλύτεροι του

), άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.

Εύκολα πια έπεται το ζητούμενο.

Edit: Δείτε κάτω το σχόλιο του κ. Δημήτρη.

#3

Σωστά. Χρειάζεται όμως μια επιπλέον λεπτομέρεια. Ότι ο μικρότερος από τους πρώτους όρους παραμένει στο γινόμενο.

Putnam 2013/A2

Putnam 2013/A2

Re: Putnam 2013/A2

Re: Putnam 2013/A2

Μέλη σε σύνδεση