Putnam 2017/A1
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2017/A1
Το είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:
(α)
(β) Αν τότε , και
(γ) Αν τότε .
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο
(Το σύνολο είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)
(α)
(β) Αν τότε , και
(γ) Αν τότε .
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο
(Το σύνολο είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Putnam 2017/A1
Καλησπέρα κ. Δημήτρη!Demetres έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 amΤο είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:
(α)
(β) Αν τότε , και
(γ) Αν τότε .
Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο
(Το σύνολο είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)
Αρχικά είναι προφανές ότι το δεν μπορεί να ανήκει στο . Επίσης αν προκύψει ένα πολ. 5 θα πρέπει οπωσδήποτε να είχαμε και πριν ένα πολ. 5. Αλλά στην αρχή δεν είχαμε πολ. 5 οπότε δεν μπορεί να προκύψει και πολ. 5. Συνεπώς όλα τα πολλαπλάσια του 5 δεν ανήκουν και αυτά στο .
Παρατηρούμε επίσης ότι αν ανήκει στο το τότε και το θα ανήκει στο (Ιδιότητα . Αυτό το βλέπουμε με εφαρμογή της (γ) και κατόπιν της (β).
Θα αποδείξουμε ότι . Θα χρησιμοποιήσω τα αντίστροφα βέλη για να δείξω τι αρκεί να αποδείξω:
δηλ. ότι . Ομως:
και άρα αφού με εφαρμογή της πολλες φορές στο αποδεικνύω ότι άρα και .
Είναι τέλος οπότε άρα:
Ολοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός των πολλαπλασίων του 5 και το 1 ανήκουν στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες