Ο περίεργος φυσικός
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ο περίεργος φυσικός
Δίνεται ένας θετικός ακέραιος , μεγαλύτερος του . Στον πίνακα γράφτηκαν όλοι οι θετικοί ακέραιοι της μορφής , όπου θετικός ακέραιος. Προέκυψε, ότι για όλοι τους είναι πρώτοι. Να αποδείξετε, ότι και όλοι οι υπόλοιποι θετικοί ακέραιοι αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα είναι πρώτοι ή ίση με την μονάδα.
Μπορείτε να βρείτε έναν τέτοιον ;
(Και για Αρχιμίδη Μικρών, JBMO)
Πηγή: Ολυμπιάδα Euler, 2017.
Μπορείτε να βρείτε έναν τέτοιον ;
(Και για Αρχιμίδη Μικρών, JBMO)
Πηγή: Ολυμπιάδα Euler, 2017.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τετ Νοέμ 23, 2022 10:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ο περίεργος φυσικός
Ένα παράδειγμα είναι ο . Οι , όπου θετικός ακέραιος, είναι θετικοί ακέραιοι για και είναι οι που είναι όλοι πρώτοι ή ίσοι με τη μονάδα.
Παρατηρούμε ότι .
Αν τότε για παίρνουμε τους αριθμούς και . Τουλάχιστον ο ένας είναι άρτιος. Επίσης . Άρα δεν μπορεί να είναι και οι δύο πρώτοι και δεν έχουμε κάτι να αποδείξουμε.
Αν τότε , οπότε κανένας από τους δεν είναι ακέραιος και δεν έχουμε κάτι να δείξουμε. Ομοίως και αν .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι και ότι είναι πρώτος για κάθε ακέραιο για τον οποίο ο είναι θετικός ακέραιος. Ας υποθέσουμε επίσης προς άτοπο ότι υπάρχει για τον οποίο ο είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο είναι ελάχιστος για τον οποίο ισχύει αυτή η ιδιότητα.
Έστω ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί τον . Αφού σύνθετος, τότε
Ορίζουμε τώρα και παρατηρούμε ότι . Πράγματι αφού ο είναι περιττός και ο ακέραιος, τότε ο είναι επίσης περιττός, άρα . Επίσης, αν τότε ενώ αν τότε αφού ήδη δείξαμε ότι .
Ορίζουμε τώρα
ο οπόιος είναι ακέραιος πολλαπλάσιος του και άρα και αυτός σύνθετος. (Αφού επίσης .
Άρα βρήκαμε για τον οποίο ισχύει ότι ο είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Από τον ορισμό του πρέπει , αλλά αυτό είναι άτοπο αφού τότε ο είναι πρώτος ή ίσος με .
Παρατηρούμε ότι .
Αν τότε για παίρνουμε τους αριθμούς και . Τουλάχιστον ο ένας είναι άρτιος. Επίσης . Άρα δεν μπορεί να είναι και οι δύο πρώτοι και δεν έχουμε κάτι να αποδείξουμε.
Αν τότε , οπότε κανένας από τους δεν είναι ακέραιος και δεν έχουμε κάτι να δείξουμε. Ομοίως και αν .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι και ότι είναι πρώτος για κάθε ακέραιο για τον οποίο ο είναι θετικός ακέραιος. Ας υποθέσουμε επίσης προς άτοπο ότι υπάρχει για τον οποίο ο είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο είναι ελάχιστος για τον οποίο ισχύει αυτή η ιδιότητα.
Έστω ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί τον . Αφού σύνθετος, τότε
Ορίζουμε τώρα και παρατηρούμε ότι . Πράγματι αφού ο είναι περιττός και ο ακέραιος, τότε ο είναι επίσης περιττός, άρα . Επίσης, αν τότε ενώ αν τότε αφού ήδη δείξαμε ότι .
Ορίζουμε τώρα
ο οπόιος είναι ακέραιος πολλαπλάσιος του και άρα και αυτός σύνθετος. (Αφού επίσης .
Άρα βρήκαμε για τον οποίο ισχύει ότι ο είναι θετικός ακέραιος αλλά σύνθετος. Από τον ορισμό του πρέπει , αλλά αυτό είναι άτοπο αφού τότε ο είναι πρώτος ή ίσος με .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες