Άθροισμα γινομένων μη μηδενικό

[Demetres]

Δίνεται ένας πίνακες όπου περιττός. Σε κάθε κελί του πίνακα υπάρχει ένας αριθμός ίσος με ή . Σημειώνουμε τα γινόμενα των αριθμών που βρίσκονται σε κάθε στήλη και σε κάθε σειρά. Να δειχθεί ότι το άθροισμα αυτών των γινομένων δεν μπορεί να είναι ίσο με .

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1962

[ΕΚτζ]

Καλησπέρα Κύριε Δημήτρη,
Τη λύση στο άλλο πρόβλημα με τα τρία υποσύνολα την ολοκλήρωσα και θα την γράψω όταν έχω όρεξη

Μια προσπάθεια.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχω την εντύπωση ότι είχε τεθεί είτε στον προκριματικό είτε στον Αρχιμίδη. Το τέχνασμα είναι να πάρουμε αυθαίρετα μια τυχαία δομή του πίνακα και να αλλάξουμε ένα με ένα , τότε θα παρατηρήσουμε ότι το παραγώμενο (ζητούμενο) άθροισμα θα αφήνει ίδιο υπόλοιπο με αυτό της αρχικής δομής διαιρούμενο με το (Έπεται εύκολα περιπτωσιολογικά).

Επομένως, επειδή το αφήνει υπόλοιπο διαρούμενο με το κανένα από τα ζητούμενα αθροίσματα δε μπορεί να ισούται με , διοτι θα πρέπει να διαιρείται και με το . Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Εστω ότι γίνεται.
Θα έχουμε άρτιο πλήθος από γινόμενα -1 στις γραμμές και περιττό στις στήλες ή αντίστροφα.
Τότε όμως μετρώντας τα -1 στον πίνακα θα βγαίνουν άρτιο πλήθος αν τα μετρήσουμε στις γραμμές και περιττό στις στήλες
ΑΤΟΠΟ.

[silouan]

Ναι Βαγγέλη το πρόβλημα είχε πέσει στον Αρχιμήδη του 2007.
http://artofproblemsolving.com/communit ... 040p775355