Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί

[Demetres]

Τρεις παίκτες παίζουν πέτρα-ψαλίδι-χαρτί.

Σε κάθε γύρο, οι παίκτες επιλέγουν ξεχωριστά και ταυτόχρονα ένα από τα «σχήματα». Η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι, το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί και το χαρτί κερδίζει την πέτρα.

Αν σε ένα γύρο επιλεχθούν ακριβώς δύο από τα σχήματα, τότε όσοι παίκτες επέλεξαν το νικητήριο από τα δύο σχήματα κερδίζουν από ένα βαθμό.

Μετά από αρκετούς γύρους παρατηρήθηκε ότι κάθε σχήμα εμφανίστηκε συνολικά (σε όλους τους γύρους) το ίδιο πλήθος φορών. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαθμών των παικτών είναι πολλαπλάσιο του .

[JimNt.]

Τρεις παίκτες παίζουν πέτρα-ψαλίδι-χαρτί.

Σε κάθε γύρο, οι παίκτες επιλέγουν ξεχωριστά και ταυτόχρονα ένα από τα «σχήματα». Η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι, το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί και το χαρτί κερδίζει την πέτρα.

Αν σε ένα γύρο επιλεχθούν ακριβώς δύο από τα σχήματα, τότε όσοι παίκτες επέλεξαν το νικητήριο από τα δύο σχήματα κερδίζουν από ένα βαθμό.

Μετά από αρκετούς γύρους παρατηρήθηκε ότι κάθε σχήμα εμφανίστηκε συνολικά (σε όλους τους γύρους) το ίδιο πλήθος φορών. Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαθμών των παικτών είναι πολλαπλάσιο του .

Ορίζουμε tριάδες της μορφής , όπου οι επιλογές του παίκτη αντίστοιχα σε έναν γύρο και κάθε μια από τις οποίες ονομάζουμε αποτέλεσμα γύρου (που μπορεί να πάρει τις μορφές: (πέτρα),(χαρτί), (ψαλίδι). Έτσι, προκύπτουν ( δυνατές τιμές για θέσεις) δυνατά αποτελέσματα γύρου τα οποία χωρίζουμε στα παρακάτω σύνολα με βάση τον αριθμό που προσθέτουν στην συνολική βαθμολογία σε περίπτωση που κάποιο από αυτά πραγματοποιηθεί :

πόντους
πόντους
πόντους
Χωρίζουμε τα σύνολα και στα παρακάτω υποσύνολα με βάση το πλήθος των σε κάθε αποτέλεσμα γύρου:



Άρα,







Διακρίνουμε τώρα περιπτώσεις:
Κατα την διάρκεια των γύρων τα αποτελέσματα ήταν μόνο αυτά από το σύνολο συνεπώς το η συνολική βαθμολογία θα είναι
Κατα την διάρκεια των γύρων τα αποτελέσματα ήταν μόνο αυτά από το (ή και το ,το οποίο όμως αφήνει την διαφορά μεταξύ του πλήθους των και την συνολική βαθμολογία αναλλοίωτη.). Για κάθε υπάρχουν αναγκαστικά και , καθώς έστω ότι είχαμε στοιχεία μόνο από το . Τότε προκύπτει , άτοπο. Έστω τώρα ότι είχαμε στοιχεία από το και από το , τότε προκύπτει , άτοπο για κάθε τιμή τιμή των . Έστω τώρα ότι είχαμε στοιχεία από το , στοιχεία από το και από το . Τότε προκύπτει . Όμως από την εκφώνηση πρέπει να ισχύει ή .(Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και για τις υπόλοιπες υποπεριπτώσεις)Επομένως, ισχύει ότι σε κάθε αριθμό αποτελεσμάτων γύρου που ανήκει σε ένα από τα τότε αντιστοιχούν ίσος αριθμός αποτελεσμάτων από καθένα από τα άλλα υποσύνολα. Συνεπώς, έστω ο αριθμός των αποτελεσμάτων από το , τότε ο συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων από το σύνολο είναι ίσος με , που δίνουν στην συνολική βαθμολογία , πόντους, που είναι πολλαπλάσιο του .
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η περίπτωση που είχαμε στοιχεία μόνο από το .
Κατά την διάρκεια των γύρων τα αποτελέσματα ήταν από το και (ή και το σύνολο το οποίο όμως αφήνει την διαφορά μεταξύ του πλήθους των και την συνολική βαθμολογία αναλλοίωτη). Πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε υπάρχει (ανεξάρτητα από την ύπαρξη ίσου αριθμού στοιχείων από , που προσθετουν στην συνολική βαθμολογία πολ. του και αφήνουν την διαφορά στο πλήθος μεταξύ των αναλλοίωτη, όπως δείξαμε, το ίδιο και με την ύπαρξη ίσου αριθμού στοιχείων από ). Έστω, ότι είχαμε στοιχεία μόνο από το ,τότε προκύπτει , άτοπο. Έστω ότι είχαμε στοιχεία από το , στοιχεία από και στοιχεία από το . Τότε προκύπτει , άτοπο για κάθε. Με όμοιο τρόπο απορρίπτουμε και τις υπόλοιπες περιπτώσεις και καταλήγουμε στο: Σε κάθε στοιχείο από το σύνολο αντιστοιχεί στοιχείο από το και αντίστροφα. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και για τα σύνολα,. Επομένως, ισχύει ότι σε κάθε αριθμό αποτελεσμάτων γύρου που ανήκουν σε ένα από τα τότε αντιστοιχεί ίσος αριθμός αποτελεσμάτων από τα αντίστοιχα υποσύνολα (και αντίστροφα). Συνεπώς, έστω ο αριθμός των αποτελεσμάτων από το , τότε προκύπτει ότι στην συνολική βαθμολογία προστίθενται από τα , που είναι πολ. του.
(όμοια και στις άλλες περιπτώσεις)
(Ευχαριστώ τον κο Δημήτρη για την υπόδειξη ενός νοηματικά ελλειπούς χωρίου, το οποίο και διόρθωσα.)

[Demetres]

Η άσκηση μπορούσε όντως να λυθεί κοιτάζοντας περιπτώσεις αν και γενικά είναι αρκετά δύσκολο να γίνει σωστή καταγραφή και εξήγηση όλων των περιπτώσεων.

Συνήθως σε τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν λύσεις που είναι πιο δύσκολο να βρεθούν αλλά αρκετά απλούστερο να εξηγηθούν. Ορίστε μία:

Έστω το συνολικό άθροισμα των βαθμών, το πλήθος των φορών που κάποιος επέλεξε πέτρα, και το πλήθος των φορών που κάποιος επέλεξε ψαλίδι.

Τώρα απλά παρατηρούμε ότι το είναι αναλλοίωτο .

Μάλλον έκανα λάθος που την έβαλα στους Juniors. Θα την μεταφέρω στους Seniors.