Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Συντονιστές: Demetres, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Δίνεται η παράσταση
Μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όποιο τρόπο θέλουμε. Πόσες διαφορετικές παραστάσεις προκύπτουν αν τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους;
Μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όποιο τρόπο θέλουμε. Πόσες διαφορετικές παραστάσεις προκύπτουν αν τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Έστω ο αριθμός των παραστάσεων όταν έχουμε στοιχεία.
Τότε προφανώς διότι μπορούμε να ομαδοποιήσουμε και στοιχεία με μοναδικό τρόπο.
Για στοιχεία ισχύει . Ο λόγος είναι οτι μπορούμε να διαλέξουμε με τρόπους το σημείο στο οποίο θα γίνει ο πρώτος "εξωτερικός διαχωρισμός" των n στοιχείων σε δύο ομαδοποιήσεις και κατόπιν οι εσωτερικοί διαχωρισμοί γίνονται αποκλειστικά εντός της καθε μίας ομάδοποίησης. Ουσιαστικά διαλέγουμε ποια στοιχεία θα είναι στον "εξωτερικό" αριθμητή και ποιά στον "εξωτερικό" παρονομαστή και κατόπιν δουλεύουμε αναγωγικά.
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε οτι .
Τότε προφανώς διότι μπορούμε να ομαδοποιήσουμε και στοιχεία με μοναδικό τρόπο.
Για στοιχεία ισχύει . Ο λόγος είναι οτι μπορούμε να διαλέξουμε με τρόπους το σημείο στο οποίο θα γίνει ο πρώτος "εξωτερικός διαχωρισμός" των n στοιχείων σε δύο ομαδοποιήσεις και κατόπιν οι εσωτερικοί διαχωρισμοί γίνονται αποκλειστικά εντός της καθε μίας ομάδοποίησης. Ουσιαστικά διαλέγουμε ποια στοιχεία θα είναι στον "εξωτερικό" αριθμητή και ποιά στον "εξωτερικό" παρονομαστή και κατόπιν δουλεύουμε αναγωγικά.
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε οτι .
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Γειά σου Δημήτρη, το σκέφτηκα αυτό που λες και έχεις δίκαιο. Η λογική μου είναι πως αν και δημιουργούν το ίδιο κλάσμα ΚΑΤΟΠΙΝ αλγεβρικών χειρισμών, θα θεωρούσα αυτές τις δύο ως διαφορετικές παραστάσεις. Για παράδειγμα και είναι ισοδύναμες παραστασεις αλλά δεν είναι ίδιες παραστάσεις.
Θα προσπαθήσω να παραθεσω λύση για το πρόβλημα όπου λαμβάνονται ως ίδιες δυο ισοδύναμες παραστάσεις.
Θα προσπαθήσω να παραθεσω λύση για το πρόβλημα όπου λαμβάνονται ως ίδιες δυο ισοδύναμες παραστάσεις.
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Demetres έγραψε:Δίνεται η παράσταση
Μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όποιο τρόπο θέλουμε. Πόσες διαφορετικές παραστάσεις προκύπτουν αν τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους;
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Η σωστή απάντηση (όπως υπέδειξε και ο nikkru) είναι .
Η απόδειξη έχει ως εξής:
Θα δείξουμε οτι χρησιμοποιώντας τις παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους μπορούμε να δημιουργήσουμε όλα τα κλάσματα που έχουν το στον αριθμητή και το στον παρονομαστή. Εφόσον υπάρχουν στοιχεία πλην των και , και εφόσνον έχουμε την επιλογή να τοποθετήσουμε κάθε στοιχείο είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή βλέπουμε οτι έχουμε παραστάσεις. (Μπορούμε εύκολα να δείξουμε επαγωγικά οτι τα και πρέπει υποχρεωτικά να είναι στον αριθμητή και παρονομαστή αντίστοιχα.)
Θα αποδείξουμε την προτασή μας με επαγωγή στο . Βλέπουμε οτι η υπόθεσή μας ισχύει για . Έστω οτι ισχύει για κάθε . Θα δείξουμε οτι ισχύει για
Έστω οτι θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα της μορφής όπου κάθε με ανήκει είτε στο είτε στο .
Τότε ξέρουμε οτι υπάρχει παράσταση που δημιουργεί το κλάσμα λόγω της επαγωγικής υπόθεσης.
Σε αυτή την περίπτωση η παράσταση δημιουργεί το ζητούμενο κλάσμα.
Έστω οτι θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα της μορφής όπου και κάθε με ανήκει είτε στο είτε στο .
Τότε ξέρουμε οτι υπάρχει παράσταση που δημιουργεί το κλάσμα λόγω της επαγωγικής υπόθεσης. Τότε θέτοντας όπου την τιμή στην δημιουργούμε το ζητούμενο κλάσμα.
Εφόσον κάθε κλάσμα μπορεί να γραφτεί σε μία απο τις δύο μορφές που αναφέραμε η απόδειξη είναι πλήρης.
Δημήτρη δεν βρήκα πως να γράψω το σύμβολο της διαίρεσης που χρησιμοποιείς οπότε χρησιμοποίησα απλώς /
Η απόδειξη έχει ως εξής:
Θα δείξουμε οτι χρησιμοποιώντας τις παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους μπορούμε να δημιουργήσουμε όλα τα κλάσματα που έχουν το στον αριθμητή και το στον παρονομαστή. Εφόσον υπάρχουν στοιχεία πλην των και , και εφόσνον έχουμε την επιλογή να τοποθετήσουμε κάθε στοιχείο είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή βλέπουμε οτι έχουμε παραστάσεις. (Μπορούμε εύκολα να δείξουμε επαγωγικά οτι τα και πρέπει υποχρεωτικά να είναι στον αριθμητή και παρονομαστή αντίστοιχα.)
Θα αποδείξουμε την προτασή μας με επαγωγή στο . Βλέπουμε οτι η υπόθεσή μας ισχύει για . Έστω οτι ισχύει για κάθε . Θα δείξουμε οτι ισχύει για
Έστω οτι θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα της μορφής όπου κάθε με ανήκει είτε στο είτε στο .
Τότε ξέρουμε οτι υπάρχει παράσταση που δημιουργεί το κλάσμα λόγω της επαγωγικής υπόθεσης.
Σε αυτή την περίπτωση η παράσταση δημιουργεί το ζητούμενο κλάσμα.
Έστω οτι θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα της μορφής όπου και κάθε με ανήκει είτε στο είτε στο .
Τότε ξέρουμε οτι υπάρχει παράσταση που δημιουργεί το κλάσμα λόγω της επαγωγικής υπόθεσης. Τότε θέτοντας όπου την τιμή στην δημιουργούμε το ζητούμενο κλάσμα.
Εφόσον κάθε κλάσμα μπορεί να γραφτεί σε μία απο τις δύο μορφές που αναφέραμε η απόδειξη είναι πλήρης.
Δημήτρη δεν βρήκα πως να γράψω το σύμβολο της διαίρεσης που χρησιμοποιείς οπότε χρησιμοποίησα απλώς /
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Καλημέρα,Demetres έγραψε:Δίνεται η παράσταση
Μπορούμε να τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όποιο τρόπο θέλουμε. Πόσες διαφορετικές παραστάσεις προκύπτουν αν τοποθετήσουμε παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους;
ας παραθέσω άλλη μια λύση.
Προφανώς οι όπου και να τοποθετήσουμε παρενθέσεις δεν αλλάζουν θέσεις, ο είναι πάντα στον αριθμητή και ο στον παρονομαστή του τελικού απλού κλάσματος.
Τους υπόλοιπους όρους μπορούμε να τους έχουμε στον αριθμητή ή στον παρονομαστή του τελικού απλού κλάσματος άρα υπάρχουν διαφορετικές παραστάσεις( θεωρούμε όλα τα διαφορετικά μεταξύ τους και παραβλέπουμε τις τυχόν απλοποιήσεις ).
Η διαδικασία είναι η εξής:
Ξεκινάμε από το δεξιό μέρος της παράστασης και κινούμενοι προς τα αριστερά:
βάζουμε δεξιά παρένθεση μετά από κάθε που συναντάμε και θέλουμε να είναι στον αριθμητή
ενώ πριν από κάθε που συναντάμε και θέλουμε να είναι στον παρονομαστή βάζουμε όσες αριστερές παρενθέσεις χρειάζονται για να συμπληρώσουν τις δεξιές παρενθέσεις που έχουμε ήδη βάλει.
Η διαδικασία τελειώνει όταν φτάσουμε σε όρο που θέλουμε να είναι στον παρονομαστή και έχει μόνο δεξιά του όρους που θέλουμε να είναι στον αριθμητή.
Π.χ. στην παράσταση αν θέλουμε να έχουμε στον αριθμητή τους γράφουμε:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πόσες διαφορετικές παραστάσεις;
Με το \div. Αν πάρεις το βελάκι πάνω από τον τύπο, τότε φαίνεται ο κώδικας του latex που χρησιμοποιήθηκε.taratoris έγραψε: Δημήτρη δεν βρήκα πως να γράψω το σύμβολο της διαίρεσης που χρησιμοποιείς οπότε χρησιμοποίησα απλώς /
Δίνω και την δική μου απόδειξη:
Αναγκαστικά το είναι στον αριθμητή και το στον παρονομαστή. Θα δείξω επαγωγικά ότι μπορώ να έχω οποιοδήποτε κλάσμα που να έχει το στον αριθμητή και το στον παρονομαστή.
Για προφανώς ισχύει. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για . Έστω και ότι θέλω να φτιάξω ένα συγκεκριμένο κλάσμα το οποίο να έχει το στον αριθμητή και το στον παρονομαστή.
Αν για αυτό το κλάσμα υπάρχει δείκτης ώστε το να βρίσκεται στον παρονομαστή και το στον αριθμητή τότε ξεκινάω με τις παρενθέσεις
Από την επαγωγική υπόθεση μπορώ να βάλω παρενθέσεις στο πρώτο κομμάτι ώστε τα με να βρίσκονται στην ίδια θέση όπως στο κλάσμα . Επίσης μπορώ να βάλω παρενθέσεις στο δεύτερο κομμάτι ώστε τα με να βρίσκονται σε αντίθετη θέση από ότι στο . Το τελικό αποτέλεσμα θα είναι το επιθυμητό.
Αν τώρα δεν υπάρχει τέτοιος δείκτης αυτό σημαίνει ότι θέλω να φτιάξω το κλάσμα Αυτό όμως μπορεί να φτιαχτεί ως εξής:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες