Τριγωνοποίηση πολυγώνου

[Demetres]

Δίνεται κυρτό πολύγωνο. Κάποιος έφερε κάποιες διαγωνίους του πολυγώνου, μη τεμνόμενες εσωτερικά, ώστε να το χωρίσει σε τρίγωνα. Ακολούθως σε κάθε κορυφή έγραψε τον αριθμό των τριγώνων στα οποία ανήκε. Έπειτα έσβησε τις διαγώνιους και άφησε γραμμένους τους αριθμούς στις κορυφές.

Μπορείτε να βρείτε ποιες ήταν αυτές οι διαγώνιοι;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Ισχύει πως σε κάθε πολύγωνο θα υπάρχει μια κορυφή με αριθμό (και μάλιστα θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοιες κορυφές).

Επιλέγουμε μια κορυφή με αριθμό . Μια διαγώνιος που είχε σβηστεί είναι αυτή που ενώνει τις δύο γειτονικές κορυφές της. Μειώνουμε κατά τους αριθμούς των γειτονικών κορυφών και αφαιρούμε (θεωρητικά) αυτή την κορυφή και τις προσκείμενες πλευρές της. Έτσι προκύπτει πολύγωνο μικρότερο κατά μια κορυφή που είναι και αυτό χωρισμένο σε τρίγωνα.

Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο νέο πολύγωνο μέχρι να μείνει μόνο ένα τρίγωνο. Με αυτό τον τρόπο θα έχουμε βρει όλες τις διαγωνίους.