Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #2

Δίνω μία λύση με επιφύλαξη.

Έστω $\{a,b,c,d\}=\{x,y,z,t\}$ μία μετάθεση των a,b,c,d

με $x \geqslant y \geqslant z \geqslant t$ .

Τότε από την ανισότητα της αναδιάταξης $\dfrac{a}{b+3}+\dfrac{b}{c+3}+\dfrac{c}{d+3}+\dfrac{d}{a+3} \leqslant \dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3}$ .

Αρκεί λοιπόν $\dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3} \leqslant 1$ .

Θα δείξουμε ότι $\dfrac{x}{t+3} +\dfrac{t}{x+3} \leqslant \dfrac{3x^2+3t^2+10}{32}$ (1).

Θέτουμε $x+t=2k, xt=\ell$ με $k \geqslant \ell$ (από ΑΜ-ΓΜ).

Η (1) με αντικατάσταση των παραπάνω καταλήγει στο ότι έχουμε να δείξουμε ότι $3\ell^4-2(3k^2-9k+5)\ell^2-(2k+3)(18k^2-32k+15) \leqslant 0$ .

Όμως, $3\ell^4-2(3k^2-9k+5)\ell^2-(2k+3)(18k^2-32k+15)=$

$\color{red} \displaystyle \ell^2(3\ell^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15) \mathop \leqslant \limits^{\ell \leqslant k}$

$\color{red}k^2(3k^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15)=$

$-(k-1)^2(k^2+8k+15) \leqslant 0$ , και η (1) δείχτηκε.

Όμοια, $\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3} \leqslant \dfrac{3y^2+3z^2+10}{32}$ (2).

Από (1), (2), $\dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3} \leqslant \dfrac{3x^2+3t^2+10}{32}+\dfrac{3y^2+3z^2+10}{32}=$

$\dfrac{3(x^2+y^2+z^2+t^2)+20}{32} \leqslant1$ , ό.έ.δ.

Edit: Τα κοκκινισμένα είναι λάθος. Δείτε πιο κάτω την διόρθωση από τον Δημήτρη (Demetres), τον οποίο και ευχαριστώ.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: $\displaystyle \ell^2(3\ell^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15) \mathop \leqslant \limits^{\ell \leqslant k}$

Ορέστη, υπάρχει πρόβλημα στην πιο πάνω γραμμή. Τουλάχιστον ως προς την δικαιολόγηση. Αν εφαρμόσεις π.χ. πρώτα την ανισότητα $\ell \leqslant k$ στην μέσα παρένθεση, μετά για να εφαρμοστεί στην έξω θα έπρεπε να ξέρεις ότι $3k^2 - 2(3k^2 - 9k+5) \geqslant 0$ , το οποίο όμως δεν ισχύει.

Διορθώνεται όμως. Η πιο πάνω παράσταση είναι δευτεροβάθμια στο $\ell^2$ . Οπότε στο διάστημα $0 \leqslant \ell^2 \leqslant k^2$ που μας ενδιαφέρει μεγιστοποιείται είτε στο $\ell^2=0$ είτε στο $\ell^2=k^2$ . Και στις δύο περιπτώσεις είναι αρνητικό. [Στην περίπτωση $\ell=k$ υπάρχει και ένα

μπροστά από το (x-1)^2(x^2+8x+15)

το οποίο ξέχασες.]

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση