Ανισότητα!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 5937
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από matha » Σάβ Αύγ 02, 2014 12:23 pm

\displaystyle{\begin{cases}a,b,c,d\geq 0, \\ \\ a^2+b^2+c^2+d^2\leq 4\end{cases}\implies~ \frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{d+3}+\frac{d}{a+3}\leq 1.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 940
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανισότητα!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 18, 2017 11:09 pm

Δίνω μία λύση με επιφύλαξη.

Έστω \{a,b,c,d\}=\{x,y,z,t\} μία μετάθεση των a,b,c,d με x \geqslant y \geqslant z \geqslant t.

Τότε από την ανισότητα της αναδιάταξης \dfrac{a}{b+3}+\dfrac{b}{c+3}+\dfrac{c}{d+3}+\dfrac{d}{a+3} \leqslant \dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3}.

Αρκεί λοιπόν \dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3} \leqslant 1.

Θα δείξουμε ότι \dfrac{x}{t+3} +\dfrac{t}{x+3} \leqslant \dfrac{3x^2+3t^2+10}{32} (1).

Θέτουμε x+t=2k, xt=\ell με k \geqslant \ell (από ΑΜ-ΓΜ).

Η (1) με αντικατάσταση των παραπάνω καταλήγει στο ότι έχουμε να δείξουμε ότι 3\ell^4-2(3k^2-9k+5)\ell^2-(2k+3)(18k^2-32k+15) \leqslant 0.

Όμως, 3\ell^4-2(3k^2-9k+5)\ell^2-(2k+3)(18k^2-32k+15)=

\color{red} \displaystyle \ell^2(3\ell^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15) \mathop \leqslant \limits^{\ell \leqslant k}

\color{red}k^2(3k^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15)=

-(k-1)^2(k^2+8k+15) \leqslant 0, και η (1) δείχτηκε.

Όμοια, \dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3} \leqslant \dfrac{3y^2+3z^2+10}{32} (2).

Από (1), (2), \dfrac{x}{t+3}+\dfrac{y}{z+3}+\dfrac{z}{y+3}+\dfrac{t}{x+3} \leqslant \dfrac{3x^2+3t^2+10}{32}+\dfrac{3y^2+3z^2+10}{32}=

\dfrac{3(x^2+y^2+z^2+t^2)+20}{32} \leqslant1, ό.έ.δ.

Edit: Τα κοκκινισμένα είναι λάθος. Δείτε πιο κάτω την διόρθωση από τον Δημήτρη (Demetres), τον οποίο και ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Παρ Μάιος 19, 2017 2:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Demetres » Παρ Μάιος 19, 2017 9:08 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:\displaystyle \ell^2(3\ell^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15) \mathop \leqslant \limits^{\ell \leqslant k}

k^2(3k^2-2(3k^2-9k+5))-(2k+3)(18k^2-32k+15)=


Ορέστη, υπάρχει πρόβλημα στην πιο πάνω γραμμή. Τουλάχιστον ως προς την δικαιολόγηση. Αν εφαρμόσεις π.χ. πρώτα την ανισότητα \ell \leqslant k στην μέσα παρένθεση, μετά για να εφαρμοστεί στην έξω θα έπρεπε να ξέρεις ότι 3k^2 - 2(3k^2 - 9k+5) \geqslant 0, το οποίο όμως δεν ισχύει.

Διορθώνεται όμως. Η πιο πάνω παράσταση είναι δευτεροβάθμια στο \ell^2. Οπότε στο διάστημα 0 \leqslant \ell^2 \leqslant k^2 που μας ενδιαφέρει μεγιστοποιείται είτε στο \ell^2=0 είτε στο \ell^2=k^2. Και στις δύο περιπτώσεις είναι αρνητικό. [Στην περίπτωση \ell=k υπάρχει και ένα 3 μπροστά από το (x-1)^2(x^2+8x+15) το οποίο ξέχασες.]



Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης