Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε

(f(x) + y)(f(x − y) + 1) = f(f(xf(x + 1)) − yf(y − 1)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb R.$

#2

Επαναφορά!

#3

Έστω

$\displaystyle{P\left( {x,y} \right):\left( {f\left( x \right) + y} \right)\left( {f\left( {x - y} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right) - yf\left( {y - 1} \right)} \right)}$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{P\left( {x,0} \right):f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

$\displaystyle{P\left( {0,x} \right):\left( {f\left( 0 \right) + x} \right)\left( {f\left( { - x} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( 0 \right) - xf\left( {x - 1} \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(2 \right)$

$\displaystyle{P\left( {x,1} \right):\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\left( {f\left( {x - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right) - f\left( 0 \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(3 \right)$

$\displaystyle{P\left( { - 1,x} \right):\left( {f\left( { - 1} \right) + x} \right)\left( {f\left( { - x - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( { - f\left( 0 \right)} \right) - xf\left( {x - 1} \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(4 \right)$ .

Ισχυρισμός 1: Υπάρχει $s \in \mathbb{R}$ τέτοιο, ώστε .

Πράγματι, θέτοντας x =-f(0)

στη σχέση $\bf \color{red} \left(2 \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{0 = f\left( {f\left( 0 \right) + f\left( 0 \right)f\left( { - f\left( 0 \right) - 1} \right)} \right),}$

οπότε μπορούμε να πάρουμε $\displaystyle{{s = f\left( 0 \right) + f\left( 0 \right)f\left( { - f\left( 0 \right) - 1} \right)}.}$

Ισχυρισμός 2: Είναι και .

Πράγματι, θέτοντας x =1

στη σχέση $\bf \color{red} \left(2 \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\left( {f\left( 0 \right) + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( 0 \right) - f\left( 0 \right)} \right) \Rightarrow \left( {f\left( 0 \right) + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = f\left( 0 \right)}$ $\bf \color{red} \left(5 \right)$ .

Επίσης, έχουμε ότι:

$\displaystyle{P\left( {s,s + 1} \right):\left( {f\left( s \right) + s + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {sf\left( {s + 1} \right)} \right) - \left( {s + 1} \right)f\left( s \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left( {s + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {sf\left( {s + 1} \right)} \right)} \right)}$

και άρα, από τη σχέση $\bf \color{red} \left(1 \right)$ ,

$\displaystyle{ \Rightarrow \left( {s + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = f\left( s \right)\left( {f\left( s \right) + 1} \right) \Rightarrow \left( {s + 1} \right)\left( {f\left( { - 1} \right) + 1} \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left(6 \right)$ .

Αν ήταν s =-1

, τότε θα είχαμε ότι f(-1) = f(s) =0

και από τη σχέση $\bf \color{red} \left(5 \right)$ έχουμε ότι $\displaystyle{f\left( 0 \right) + 1 = f\left( 0 \right),}$ πράγμα άτοπο. Επομένως, από τη σχέση $\bf \color{red} \left(6 \right)$ προκύπτει ότι f(-1) =-1

και από τη σχέση $\bf \color{red} \left(5 \right)$ ότι f(0) =0

.

Οι σχέσεις $\bf \color{red} \left(2 \right)$ και $\bf \color{red} \left(4 \right)$ τώρα γράφονται αντίστοιχα

$\displaystyle{x\left( {f\left( { - x} \right) + 1} \right) = f\left( { - xf\left( {x - 1} \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(7 \right)$

και

$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {f\left( { - x - 1} \right) + 1} \right) = f\left( { - xf\left( {x - 1} \right)} \right)}$ $\bf \color{red} \left(8 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left(7 \right)$ και $\bf \color{red} \left(8 \right)$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {f\left( { - x - 1} \right) + 1} \right) = x\left( {f\left( { - x} \right) + 1} \right)}$ $\bf \color{red} \left(9 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας όπου

το

στη σχέση $\bf \color{red} \left(9 \right)$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\left( {x + 1} \right)\left( {f\left( {x - 1} \right) + 1} \right) = x\left( {f\left( x \right) + 1} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow \left( {x + 1} \right)f\left( {x - 1} \right) + 1 = xf\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left(10 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Εξάλλου, από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left(3 \right)$ και $\bf \color{red} \left(1 \right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\left( {f\left( {x - 1} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right)} \right) = f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left( {f\left( x \right) + 1} \right)\left( {f\left( {x - 1} \right) - f\left( x \right) + 1} \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left(11 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Ισχυρισμός 3: Είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0}$ .

Πράγματι, έστω $x \in \mathbb{R}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f\left( x \right) = 0.}$ Τότε, η σχέση $\bf \color{red} \left(11 \right)$ δίνει ότι $\displaystyle{{f\left( {x - 1} \right) = - 1}}$ και άρα από τη σχέση $\bf \color{red} \left(10 \right)$ έχουμε ότι $\displaystyle{ - x - 1 + 1 = 0 \Rightarrow x = 0.}$

Ισχυρισμός 4: Είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = -1 \Leftrightarrow x = -1}$ .

Πράγματι, έστω $x \in \mathbb{R}$ (με $x \ne 0$ ) τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f\left( x \right) = -1.}$ Τότε, από τη σχέση $\bf \color{red} \left(1 \right)$ και τον Ισχυρισμό 3 προκύπτει ότι:

$\displaystyle{f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right)} \right) = 0 \Rightarrow xf\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1.}$

Η σχέση $\bf \color{red} \left(11 \right)$ δίνει τώρα ότι

$\displaystyle{{f\left( {x - 1} \right) = f\left( x \right) - 1}}$ $\bf \color{red} \left(12 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ με $x \ne -1$ .

Θα δείξουμε ότι η σχέση $\bf \color{red} \left(12 \right)$ ισχύει και για x =-1

, δηλαδή ότι f(-2) =-2

.

Πράγματι, η σχέση $\bf \color{red} \left(12 \right)$ για x = 1

δίνει ότι

, ενώ η σχέση $\bf \color{red} \left(7 \right)$ για x = 2

δίνει ότι

$\displaystyle{2\left( {f\left( { - 2} \right) + 1} \right) = f\left( { - 2f\left( 1 \right)} \right) = f\left( { - 2} \right) \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = - 2.}$

Τέλος, από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left(10 \right)$ και $\bf \color{red} \left(12 \right)$ έπεται ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ,

$\displaystyle{\left( {x + 1} \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) + 1 = xf\left( x \right) \Rightarrow xf\left( x \right) + f\left( x \right) - x - 1 + 1 = xf\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow {\boxed{f\left( x \right) = x}}}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ,

συνάρτηση που επαληθεύει τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

Μέλη σε σύνδεση