Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!
Για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύουν και
Να βρεθεί το μέγιστο του αθροίσματος
Να βρεθεί το μέγιστο του αθροίσματος
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!
Θέτουμε και οπότε από την υπόθεση είναι
Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί οι αριθμοί να είναι ομόσημοι. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι και Τότε, είναι και
Έχουμε ότι:
και άρα
Όμοια, βρίσκουμε ότι
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
Αν τότε και κι επομένως
αφού ισοδύναμα:
που ισχύει.
Αν τότε και οπότε
Παρατηρούμε τώρα ότι:
Πράγματι, ισοδύναμα έχουμε:
που ισχύει, με το ίσον αν και μόνο αν ή
Έτσι, έχουμε ότι:
Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση με Για είναι
και εύκολα βρίσκουμε ότι που είναι αδύνατο. Άρα, η διατηρεί πρόσημο στο κι αφού θα είναι για κάθε Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο οπότε
με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν οπότε και Στην περίπτωση αυτή είναι και
Συμπεραίνουμε ότι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος είναι ίση με και λαμβάνεται για την τριάδα καθώς και τις μεταθέσεις της.
Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί οι αριθμοί να είναι ομόσημοι. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι και Τότε, είναι και
Έχουμε ότι:
και άρα
Όμοια, βρίσκουμε ότι
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
Αν τότε και κι επομένως
αφού ισοδύναμα:
που ισχύει.
Αν τότε και οπότε
Παρατηρούμε τώρα ότι:
Πράγματι, ισοδύναμα έχουμε:
που ισχύει, με το ίσον αν και μόνο αν ή
Έτσι, έχουμε ότι:
Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση με Για είναι
και εύκολα βρίσκουμε ότι που είναι αδύνατο. Άρα, η διατηρεί πρόσημο στο κι αφού θα είναι για κάθε Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο οπότε
με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν οπότε και Στην περίπτωση αυτή είναι και
Συμπεραίνουμε ότι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος είναι ίση με και λαμβάνεται για την τριάδα καθώς και τις μεταθέσεις της.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες