Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

#1

Έστω

θετικός ακέραιος και $\displaystyle{x = \sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}$ . Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{2x - 1}$ , $\displaystyle{2x}$ και $\displaystyle{2x + 1}$ είναι μήκη πλευρών τριγώνου, του οποίου το εμβαδόν και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.

#2

emouroukos έγραψε:Έστω θετικός ακέραιος και $\displaystyle{x = \sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}$ . Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{2x - 1}$ , $\displaystyle{2x}$ και $\displaystyle{2x + 1}$ είναι μήκη πλευρών τριγώνου, του οποίου το εμβαδόν και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.

Ας είναι

$\displaystyle{x_n=\sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}$

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε

$\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k}$ και $\displaystyle{\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k}$

άρα

$\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\left(1+(-1)^k\right)}$ .

Από εδώ φαίνεται ότι επιβιώνουν μόνο οι όροι με άρτιο $\displaystyle{k}$ και ισχύει προφανώς

$\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=2\sum_{k\geq 0}\binom{n}{2k}\left(\frac{3}{4}\right)^k}$ .

Επομένως είναι

$\displaystyle{x_n=2^{n-1}(a^n+b^n),}$ όπου $\displaystyle{a,b=1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Επομένως για την $\displaystyle{x_n}$ ισχύει

$\displaystyle{x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n}{2}}$ .

Τότε είναι

$\displaystyle{x_n ^2-1=\left(\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2}\right)^2}$ .

(Από εδώ φαίνεται ότι τα $\displaystyle{2x_n-1,2x_n, 2x_n +1}$ είναι πλευρές τριγώνου, αφού ισχύει $\displaystyle{2x_n +1<2x_n +2x_n -1}$ )

Επίσης έυκολα βλέπουμε ότι η ακολουθία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση $\displaystyle{x_1=2,x_2=7, x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0,}$ άρα όλοι οι όροι είναι θετικοί ακέραιοι.

Παρατηρούμε ότι στη διαφορά των ν-οστών δυνάμεων απλοποιούνται οι όροι περιττής τάξης και απομένει ένα άρτιο ακέραιο πολλαπλάσιο του $\displaystyle{\sqrt{3}.}$

Είναι δηλαδή

$\displaystyle{x_n ^2-1=3z_n ^2 , z_n \in \mathbb{N}.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ).

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι από τον τύπο του Ήρωνα

$\displaystyle{E_n =\cdots =x_n \sqrt{3(x_n ^2 -1)}}$ και ακόμα είναι $\displaystyle{r=\sqrt{\frac{x_n^2-1}{3}}}$ .

Τα ζητούμενα είναι συνέπεια της ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ).

Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

Re: Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση