Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ οι οποίες ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
(1): gcd(nm,f(nm))=gcd(nf(m),mf(n))

για όλους τους θετικούς ακεραίους n,m

.
(2):

για όλους τους πρώτους αριθμούς

.

dement · #2

Θέτοντας

στο πρώτο δεδομένο βλέπουμε ότι $f(m) \mid m$ . Έτσι, f(1)=1

.

Το σύνολο των σταθερών σημείων της

είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, αν f(m)=m, f(n)=n

, τότε από το (1) ισχύει $mn \mid f(mn) \implies f(mn)=mn$ .

Τέλος, θέτοντας m = p, n = (p-1)!

(

πρώτος), αν ο

είναι σταθερό σημείο, τότε από τα (1),(2) έχουμε $p \mid f(p) \implies f(p) = p$ .

Έτσι, αποδεικνύεται επαγωγικά ότι κάθε $n \in \mathbb{N}$ είναι σταθερό σημείο και η

είναι η ταυτοτική.

Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Re: Συναρτησιακή με μέγιστο κοινό διαιρέτη

Μέλη σε σύνδεση