Περιέργη ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a_{i},i=1,2...,n,a_{i}> 0$

Θέτουμε $s=a_{1}+a_{2}+.....+a_{n}$

Να δειχθεί ότι

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{1-\frac{1}{i+1}}< s+2\sqrt{s}$

#2

Για κάθε ακέραιο $k \geqslant 2$ θέτω $\displaystyle{C_k = \sqrt{\frac{(k-1)^{k-1 }}{(k+1)^{k+1}}}.}$ Για $x \geqslant 0$ και ακέραιο $k \geqslant 2$ έχω

$\displaystyle{ x + 2C_k = \frac{x}{k-1} + \cdots + \frac{x}{k-1} + C_k + C_k \geqslant (k+1)\left[ \frac{x^{k-1}}{(k-1)^{k-1}} C_k^2\right]^{1/(k+1)} = x^{(k-1)/(k+1)}}$

Οπότε για $x = \sqrt{a_k}$ έχω $\displaystyle{ \sqrt{a_k} + 2C_k \geqslant a_k^{\frac{k-1}{2(k+1)}}$ ή ισοδύναμα

$\displaystyle{ a_k + 2C_k \sqrt{a_k} \geqslant a_k^{1 - \frac{1}{k+1}}}$

Η ανισότητα ισχύει για κάθε ακέραιο $k \geqslant 2$ . Επίσης ισχύει και για k=1

αν θέσουμε C_1 = 1/2

.

Άρα

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k^{1 - \frac{1}{k+1}} \leqslant \sum_{k=1}^n(a_k + 2C_k \sqrt{a_k}) \leqslant s + 2\sqrt{(C_1^2 + \cdots + C_n^2)s}}$

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι

$\displaystyle{ C_1^2 + \cdots + C_n^2 < 1.}$

Αλλά

$\displaystyle{ C_k^2 = \frac{(k-1)^{k-1}}{(k+1)^{k+1}} < \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} }$

για $k \geqslant 2$ . Η ανισότητα ισχύει και για k=1

. Οπότε τηλεσκοπικά είναι

$\displaystyle{ C_1^2 + \cdots + C_n^2 < 1 - \frac{1}{n+1} < 1}$

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Με λίγη περισσότερη προσοχή η σταθερά

μπροστά από την ρίζα βελτιώνεται κάπως.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η ανισότητα είναι από το βιβλίο
Θ.Καζαντζή
αλγεβρα
Τόμος ΙΙ.

Είναι λυμένη εκεί.Θα παραθέσω την λύση της βάζοντας και δικά μου σχόλια.(με χρώμα)

Το πρόβλημα είναι τι σχέση έχουν τα $a_{i}$
με το

.Αν είναι $\geq 1$ δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.

Θεωρούμε ένα k> 1

1περίπτωση. $\dfrac{a_{i}^{1-\frac{1}{i+1}}}{a_{i}}\leq k$ τότε $a_{i}^{1-\frac{1}{i+1}}\leq ka_{i}$

2περίπτωση. $\dfrac{a_{i}^{1-\frac{1}{i+1}}}{a_{i}}> k$ τότε $a_{i}^{1-\frac{1}{i+1}}< \dfrac{1}{k^{i}}$

Αθροίζοντας παίρνουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μικρότερο από

$ks+\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{k^{i}}=ks+\dfrac{1}{k-1}$

Τώρα θέλουμε να κάνουμε την καλύτερη επιλογή για το

.Αυτή είναι εκείνο το

που ελαχιστοποιεί το φράγμα που βρήκαμε.Ελαχιστοποιούμε την συνάρτηση αυτή ως προς

Βρίσκουμε $k=1+\dfrac{1}{\sqrt{s}}$

και αντικαθιστώντας παίρνουμε το ζητούμενο.

ttheodoros · #4

Συζητήθηκε εδώ: viewtopic.php?f=61&t=31976&p=148025#p148025

#5

Δεν θυμόμουν πως την είχα λύσει ξανά. Με την ίδια ουσιαστικά λύση αλλά κάπως πιο κομψα τότε.

Περιέργη ανισότητα

Περιέργη ανισότητα

Re: Περιέργη ανισότητα

Re: Περιέργη ανισότητα

Re: Περιέργη ανισότητα

Re: Περιέργη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση