Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 494
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Αύγ 08, 2017 1:11 pm

(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n υπάρχει κλάσμα \dfrac {a}{b} όπου a,b ακέραιοι
ώστε: 0\leq b\leq \sqrt n +1 και \sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1}

(b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n ώστε να μην υπάρχει κλάσμα \dfrac {a}{b} όπου a,b ακέραιοι ώστε: 0\leq b\leq \sqrt n και \sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 10, 2017 6:43 am

α. Έστω \displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor. Για 0 \leqslant k \leqslant m ισχύουν

\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1}

\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k}

που μας δίνουν τα επιθυμητά κλάσματα.

β. Έστω n = m^2 + 1 και \displaystyle \sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}. Παίρνουμε

(bm)^2 + b^2 \leqslant a^2 \leqslant (bm)^2 + 2b^2 \implies

\implies (bm+1)^2 \leqslant (bm)^2 + 2b^2 \implies b > m = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

Έτσι, όλοι οι αριθμοί της μορφής n = m^2+1 χρειάζονται παρονομαστή μεγαλύτερο του \sqrt{n}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 494
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Πέμ Αύγ 10, 2017 1:16 pm

dement έγραψε:α. Έστω \displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor. Για 0 \leqslant k \leqslant m ισχύουν

\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1}

\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k}

που μας δίνουν τα επιθυμητά κλάσματα.

β. Έστω n = m^2 + 1 και \displaystyle \sqrt{n} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \sqrt{n+1}. Παίρνουμε

(bm)^2 + b^2 \leqslant a^2 \leqslant (bm)^2 + 2b^2 \implies

\implies (bm+1)^2 \leqslant (bm)^2 + 2b^2 \implies b > m = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

Έτσι, όλοι οι αριθμοί της μορφής n = m^2+1 χρειάζονται παρονομαστή μεγαλύτερο του \sqrt{n}.
Ευχαριστώ κύριε Δημήτρη για την όμορφη λύση σας!

Μπορείτε όμως να πείτε και πώς καταλήξατε σε αυτές τις ανισότητες;

Να σημειώσω ότι το πρόβλημα αυτό είναι το Α5 της IMO 2016 SL.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 10, 2017 3:46 pm

Γεια σου Χάρη. Έλυσα πρώτα το β, υποθέτοντας διαισθητικά (και στη συνέχεια αποδεικνύοντας) ότι αν ο n είναι κοντά σε τέλειο τετράγωνο θα θέλει και μεγάλο παρονομαστή.

Έχοντας κάνει αυτό, είδα ότι το απαιτούμενο κλάσμα είναι το \displaystyle m + \frac{1}{m+1}. Στη συνέχεια, κοιτώντας τα αναπτύγματα Taylor των ριζών, επεξέτεινα το αποτέλεσμα στη γενική περίπτωση.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης