Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am

Έστω ότι N είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:N \rightarrow N, έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n για κάθε θετικό ακέραιο n



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 635
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Δεκ 31, 2017 2:00 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am
Έστω ότι N είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:N \rightarrow N, έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n για κάθε θετικό ακέραιο n
Με επιφύλαξη:

Από τον ορισμό της συγκεκριμένης συνάρτησης θα πρέπει:

f(n)-n>0 \Rightarrow f(n)>n

Θέτουμε:

f(n)=n+h(n) (1) με h:N \rightarrow N

Άρα f(h(n))=2n (2)

Αντικαθιστώντας στην (1) όπου n το h(n) και λόγω της (2) έχουμε:

h(n)+h(h(n))=2n (3)

Έστω n_1 και n_2 θετικοί ακέραιοι με h(n_1)=h(n_2). Έχουμε:

h(n_1)=h(n_2) \Rightarrow h(n_1)+h(h(n1))=h(n_2)+h(h(n2))  \Rightarrow 2n_1=2n_2  \Rightarrow n_1=n_2

Άρα η συνάρτηση h είναι 1-1 και επομένως ορίζεται η h^{-1}.

Αντικαθιστώντας στην (3) όπου n το h^{-1}(n) έχουμε:

h(h^{-1}(n))+h(h(h^{-1}(n))) = 2h^{-1}(n) \Rightarrow n +h(n) = 2h^{-1}(n) (4)

Θα αποδείξουμε ότι h^{-1}=h.

Έστω ότι για κάποιον θετικό ακέραιο n_0 ισχύει ότι

h^{-1}(n_0) > h(n_0) (5)

άρα θα ισχύει και ότι h^{-1}(n_0)> n_0 (6)

Προσθέτοντας τις (5) και (6) κατά μέλη έχουμε: 2h^{-1}(n_0) > h(n_0)+n_0 που από την (4) προκύπτει άτοπο.

Ομοίως, έστω ότι για κάποιον θετικό ακέραιο n_0 ισχύει ότι

h^{-1}(n_0) < h(n_0) (7)

άρα θα ισχύει και ότι h^{-1}(n_0)< n_0 (8)

Προσθέτοντας τις (7) και (8) κατά μέλη έχουμε: 2h^{-1}(n_0) < h(n_0)+n_0 που από την (4) προκύπτει άτοπο.

Άρα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ότι h^{-1}(n)=h(n) και επομένως h^{-1}(n)=h(n)=n

Άρα f(n)=n+h(n) \Rightarrow \boxed{f(n)=2n}

Ελέγχοντας στην αρχική σχέση:

f(f(n)-n)=f(2n-n)=f(n)=2n που ισχύει.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης