Παραλλαγή!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Παραλλαγή!
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε για κάθε .
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Παραλλαγή!
Έστω η δοθείσα σχέση.
H δίνει , οπότε .
Αν υπάρχει τέτοιο ώστε , τότε η δίνει , οπότε για κάθε . Η μηδενική συνάρτηση αποτελεί λύση της δοθείσας εξίσωσης.
Έστω για κάθε . Αν , τότε η δίνει
, οπότε , άτοπο. Άρα . (*)
Η δίνει . (1)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις και (για ), και χρησιμοποιώντας την (*) και την (1) παίρνουμε
, (2)
η οποία με δίνει (3).
Έτσι, η είναι επί. Έστω και τέτοιο ώστε , οπότε από την (3) είναι . Τότε η (2) δίνει
,
δηλ. η είναι προσθετική. Από την τελευταία και την παίρνουμε
,
οπότε , δηλ. ,
δηλ η είναι πολλαπλασιαστική.
Έτσι, η μη μηδενική συνάρτηση είναι προσθετική και πολλαπλασιαστική. Άρα, η σε αυτη την περίπτωση είναι η ταυτοτική, η οποία ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση. Συνεπώς, οι λύσεις είναι η μηδενική και η ταυτοτική.
Σχόλια. (α) Όπως είναι αντιληπτό από την παραπάνω λύση αντί για τον εκθέτη , θα μπορούσαμε να έχουμε οποιοδήποτε θετικό περιττό εκθέτη , δηλ.
για κάθε .
Δείτε, επίσης, το θέμα αυτό στο AoPS.
(β) Το προτεινόμενο θέμα και η παραπάνω λύση έχουν ανέβει στο AoPS εδώ.
H δίνει , οπότε .
Αν υπάρχει τέτοιο ώστε , τότε η δίνει , οπότε για κάθε . Η μηδενική συνάρτηση αποτελεί λύση της δοθείσας εξίσωσης.
Έστω για κάθε . Αν , τότε η δίνει
, οπότε , άτοπο. Άρα . (*)
Η δίνει . (1)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις και (για ), και χρησιμοποιώντας την (*) και την (1) παίρνουμε
, (2)
η οποία με δίνει (3).
Έτσι, η είναι επί. Έστω και τέτοιο ώστε , οπότε από την (3) είναι . Τότε η (2) δίνει
,
δηλ. η είναι προσθετική. Από την τελευταία και την παίρνουμε
,
οπότε , δηλ. ,
δηλ η είναι πολλαπλασιαστική.
Έτσι, η μη μηδενική συνάρτηση είναι προσθετική και πολλαπλασιαστική. Άρα, η σε αυτη την περίπτωση είναι η ταυτοτική, η οποία ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση. Συνεπώς, οι λύσεις είναι η μηδενική και η ταυτοτική.
Σχόλια. (α) Όπως είναι αντιληπτό από την παραπάνω λύση αντί για τον εκθέτη , θα μπορούσαμε να έχουμε οποιοδήποτε θετικό περιττό εκθέτη , δηλ.
για κάθε .
Δείτε, επίσης, το θέμα αυτό στο AoPS.
(β) Το προτεινόμενο θέμα και η παραπάνω λύση έχουν ανέβει στο AoPS εδώ.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Παραλλαγή!
Ασφαλώς μιλάμε για παραλλαγή της άσκησης 3 της ΒΜΟ 2022.
Αξίζει να αναφέρουμε ότι αυτή η παραλλαγή είχε επίσης προταθεί από την Ελλάδα και βρίσκεται στη shortlist ώς εναλλακτική διατύπωση. Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.
Αξίζει να αναφέρουμε ότι αυτή η παραλλαγή είχε επίσης προταθεί από την Ελλάδα και βρίσκεται στη shortlist ώς εναλλακτική διατύπωση. Θεωρώ ότι η μορφή που επιλέχθηκε είναι πιο δύσκολη από αυτή.
Re: Παραλλαγή!
Ναι, Δημήτρη, συμφωνώ.
Η τελική επιλογή σας αντί της παραπάνω εκδοχής ήταν σοφή επιλογή.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Παραλλαγή!
Ο Σιλουανός μου είχε ζητήσει να μπει η εκδοχή που επιλέχθηκε πρώτη και η παραλλαγή δεύτερη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης