Καθετότητα και παραλληλία
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Καθετότητα και παραλληλία
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (κέντρου , ο εγγεγραμμένος του κύκλος και το σημείο επαφής του με την .
Αν με το μέσο του τόξου που δεν περιέχει την κορυφή και να δειχθεί ότι
με το κέντρου του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και και
Στάθης
Αν με το μέσο του τόξου που δεν περιέχει την κορυφή και να δειχθεί ότι
με το κέντρου του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και και
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Καθετότητα και παραλληλία
Καλησπέρα σε όλους!
τελευταία επεξεργασία από simantiris j. σε Τρί Οκτ 04, 2016 4:43 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Σημαντήρης Γιάννης
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα και παραλληλία
Αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο , ταυτίζεται με το αντιδιαμετρικό σημείο του και άρα, αρκεί να αποδειχθεί ότι .
Έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του και από , αρκεί να αποδειχθεί ότι λόγω του ορθογωνίου τριγώνου .
Από και , λόγω , αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου .
Αυτό όμως αληθεύει. Πράγματι, από το εγγράψιμο τετράπλευρο , όπου και το ορθογώνιο τρίγωνο , με , έχουμε λόγω ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Συμπεραίνεται έτσι, , με και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η παραλληλία είναι ένα πρόσθετο αποτέλεσμα προς απόδειξη, το οποίο όμως δεν είναι χρειαζούμενο στα δοσμένα της εκφώνησης , αλλά ούτε απαραίτητο για την απόδειξη του ζητούμενου.
Έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του και από , αρκεί να αποδειχθεί ότι λόγω του ορθογωνίου τριγώνου .
Από και , λόγω , αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Από αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου .
Αυτό όμως αληθεύει. Πράγματι, από το εγγράψιμο τετράπλευρο , όπου και το ορθογώνιο τρίγωνο , με , έχουμε λόγω ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Συμπεραίνεται έτσι, , με και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η παραλληλία είναι ένα πρόσθετο αποτέλεσμα προς απόδειξη, το οποίο όμως δεν είναι χρειαζούμενο στα δοσμένα της εκφώνησης , αλλά ούτε απαραίτητο για την απόδειξη του ζητούμενου.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα και παραλληλία
Κώστα καλησπέραvittasko έγραψε: ....
ΥΓ. Η παραλληλία είναι ένα πρόσθετο αποτέλεσμα προς απόδειξη, το οποίο όμως δεν είναι χρειαζούμενο στα δοσμένα της εκφώνησης , αλλά ούτε απαραίτητο για την απόδειξη του ζητούμενου.
Μάλλον δεν έγινε αντιληπτό ότι η παράλληλια ειναι και αυτό ζητούμενο ( αλλιώς θα έγραφα ´με ´και όχι ´και ´). Αλωστε η παράλληλια ισχύει για τυχόν τρίγωνο . Τα δυο ζητούμενα απαντούν στο πρόβλημα που αναφέρει ο καλός φίλος simantiris
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα και παραλληλία
Στάθη, όντως δεν έγινε αντιληπτό ( από μένα ) ως δεύτερο ζητούμενο, η παραλληλία και ας δούμε μία συγγενική προσέγγιση για την απόδειξή της.
Έστω το σημείο και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι ταυτίζεται με το σημείο επαφής του κύκλου στην .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο και το ορθογώνιο τρίγωνο με , έχουμε λόγω . Από προκύπτει ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου και επομένως, ισχύει
Αλλά, ισχύει λόγω .
Από
Από λόγω και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Έστω το σημείο και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι ταυτίζεται με το σημείο επαφής του κύκλου στην .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο και το ορθογώνιο τρίγωνο με , έχουμε λόγω . Από προκύπτει ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου και επομένως, ισχύει
Αλλά, ισχύει λόγω .
Από
Από λόγω και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Καθετότητα και παραλληλία
Όμορφη! Βάζω τη λύση που σκέφτηκα.
1ο ερώτημα: Θεωρούμε την αντιστροφή πόλου και ακτίνας Τα σημεία παραμένουν αμετάβλητα και ο κύκλος γίνεται η ευθεία Εφόσον το πηγαίνει στο και επίσης το πηγαίνει στην τομή της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά , έστω Επειδή έπεται πως
2ο ερώτημα: Σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα έχουμε
Εξάλλου, προκύπτει ότι
Συνδυάζοντας τις σχέσεις και προκύπτει πως
Επιπλέον, ισχύει
Από τις συμπεραίνουμε ότι αρκεί
που αληθεύει.
Οπότε δείχτηκε ότι που ολοκληρώνει την απόδειξη.
1ο ερώτημα: Θεωρούμε την αντιστροφή πόλου και ακτίνας Τα σημεία παραμένουν αμετάβλητα και ο κύκλος γίνεται η ευθεία Εφόσον το πηγαίνει στο και επίσης το πηγαίνει στην τομή της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά , έστω Επειδή έπεται πως
2ο ερώτημα: Σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα έχουμε
Εξάλλου, προκύπτει ότι
Συνδυάζοντας τις σχέσεις και προκύπτει πως
Επιπλέον, ισχύει
Από τις συμπεραίνουμε ότι αρκεί
που αληθεύει.
Οπότε δείχτηκε ότι που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες