Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας
Δίνεται τρίγωνο και ας είναι το συμμετρικό του μέσου της ως προς την , με τις ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και έστω . Αν οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα , να δειχθεί ότι η τέταρτη κορυφή (έστω ) του παραλληλογράμμου είναι σημείο της ευθείας όπου το μέσο της
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας
Απαιτητική αυτή η κορυφή παραλληλογράμμου, ή όπως λέει και ο φίλτατος Νίκος Φραγκάκης, ο Στάθης σε "δαιμονιώδη φόρμα".
Θα αποδειχθεί το ζητούμενο, αφού πρώτα κατασκευαστεί το σχήμα με τρόπο που διευκολύνει την τεκμηρίωση.
Έστω , τα ύψη του δοσμένου τριγώνου , με ορθόκεντρο το σημείο έστω και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως.
Έστω , τα μέσα των αντιστοίχως και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε αντιστοίχως, και
Από , προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ας είναι , το σημείο στην προέκταση του προς το μέρος του , ώστε να είναι
Έστω , οι προβολές του σημείου επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλλήλόγραμμο.
Ως ισοδύναμο ζητούμενο, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει , όπου . Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Από τα συνευθειακά σημεία , σύμφωνα με το Θεώρημα των Αναλόγων Διαιρέσεων , έχουμε
οι προβολές τριών συνευθειακών σημείων, επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους
Από και τώρα, σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα ( γενίκευση ), προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Εάν δύο δέσμες των τριών παραλλήλων ευθειών με ίσους λόγους τέμνονται, τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών τους είναι συνευθειακά
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , ισχύει όπου .
Από στο τρίγωνο , έχουμε
Από και
Στο τρίγωνο τώρα, με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου , έχουμε
Από και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα ύψη του και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
Θα αποδειχθεί το ζητούμενο, αφού πρώτα κατασκευαστεί το σχήμα με τρόπο που διευκολύνει την τεκμηρίωση.
Έστω , τα ύψη του δοσμένου τριγώνου , με ορθόκεντρο το σημείο έστω και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως.
Έστω , τα μέσα των αντιστοίχως και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε αντιστοίχως, και
Από , προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ας είναι , το σημείο στην προέκταση του προς το μέρος του , ώστε να είναι
Έστω , οι προβολές του σημείου επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλλήλόγραμμο.
Ως ισοδύναμο ζητούμενο, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει , όπου . Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Από τα συνευθειακά σημεία , σύμφωνα με το Θεώρημα των Αναλόγων Διαιρέσεων , έχουμε
οι προβολές τριών συνευθειακών σημείων, επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους
Από και τώρα, σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα ( γενίκευση ), προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Εάν δύο δέσμες των τριών παραλλήλων ευθειών με ίσους λόγους τέμνονται, τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών τους είναι συνευθειακά
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , ισχύει όπου .
Από στο τρίγωνο , έχουμε
Από και
Στο τρίγωνο τώρα, με διατέμνουσα την , σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου , έχουμε
Από και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα ύψη του και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας
Στο παραλληλόγραμμο , οι διαγώνιές του αλληλοδιχοτομούνται και άρα έχουμε όπου .vittasko έγραψε: ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα ύψη του και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως. Έστω , οι προβολές του επί των αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι .
Ομοίως, στό το παραλληλόγραμμο , η διαγώνιά του περνάει από το μέσον της και ισχύει
Από και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες