Σύγκλιση στο σημείο Lemoine
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Σύγκλιση στο σημείο Lemoine
Έστω τα μέσα των πλευρών τριγώνου και τα ίχνη των υψών στις ίδιες πλευρές του αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου , όπου
Στάθης
Υ.Σ. Είναι πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί
Στάθης
Υ.Σ. Είναι πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine
Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί, ότι μία έστω από τις ευθείες της εκφώνησης, περνάει από το Σημείο Lemoine , του δοσμένου τριγώνου .
Αλλάζω τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.
Έτσι, είναι τα ύψη του και το μέσον της πλευράς .
Θα αποδειχθεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, ότι η ευθεία , όπου , περνάει από το Σημείο Lemoine , του .
Έστω , το σημείο τομής των εφαπτομένων του περικύκλου του , στα σημεία και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία .
Έστω το σημείο , ως το Σημείο Lemoine του ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Θα αποδειχθεί ότι , όπου . Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι αρμονικό ( γνωστό αποτέλεσμα ) και επομένως, η δέσμη είναι αρμονική.
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Άρα, η δέσμη είναι επίσης αρμονική.
Η δέσμη αυτή τώρα, τέμνεται από την ευθεία , με το περίκεντρο του και άρα, ισχύει .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία περνάει επίσης από το σημείο .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες ταυτίζονται και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο , με τα ύψη του, και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον της πλευράς και και .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.
Αλλάζω τους συμβολισμούς, για ( δική μου ) ευκολία.
Έτσι, είναι τα ύψη του και το μέσον της πλευράς .
Θα αποδειχθεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, ότι η ευθεία , όπου , περνάει από το Σημείο Lemoine , του .
Έστω , το σημείο τομής των εφαπτομένων του περικύκλου του , στα σημεία και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία .
Έστω το σημείο , ως το Σημείο Lemoine του ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Θα αποδειχθεί ότι , όπου . Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι αρμονικό ( γνωστό αποτέλεσμα ) και επομένως, η δέσμη είναι αρμονική.
Η αρμονική αυτή δέσμη τέμνεται από την ευθεία και άρα, η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου .
Άρα, η δέσμη είναι επίσης αρμονική.
Η δέσμη αυτή τώρα, τέμνεται από την ευθεία , με το περίκεντρο του και άρα, ισχύει .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία περνάει επίσης από το σημείο .
Συμπεραίνεται έτσι, ότι οι ευθείες ταυτίζονται και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο , με τα ύψη του, και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον της πλευράς και και .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση στο σημείο Lemoine
Έστω τα σημεία και .vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο , με τα ύψη του, και ας είναι , το σημείο τομής των εφαπτομένων του στα σημεία . Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον της πλευράς και και .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο , έχουμε ότι οι ευθείες είναι αντιπαράλληλες ως προς τις ευθείες της γωνίας και επομένως, το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του , γιατί οι ευθείες = διάμεσος και συμμετροδιάμεσος αντιστοίχως , είναι ισογώνιες ως προς την γωνία .
Στα όμοια τρίγωνα τώρα, λόγω των ως ομόλογων διαμέσων τους, προκύπτει ότι
Από έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει , λόγω , από το εγγράψιμο με περίκεντρο το σημείο και , το μέσον της χορδής του . Στο τρίγωνο , από
Από
Στο τρίγωνο , όπου , έχουμε
Από
Από προκύπτει ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική και άρα, η δέσμη είναι αρμονική.
Η αρμονική αυτή δέσμη τώρα, τέμνεται από την ευθεία , με το περίκεντρο του και συμπεραίνεται έτσι ότι ισχύει , όπου και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες