Διχοτόμηση με συνθήκη

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 332
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Μαρ 20, 2017 4:21 pm

Δίνεται τρίγωνο ABC με b+c=2a. Έστω A_1,B_1,C_1 τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρες BC,CA,AB αντίστοιχα. Να δειχτεί ότι η διάμεσος AM του τριγώνου διχοτομείται απο το ευθύγραμμο τμήμα B_1,C_1.

Ίσχύει το αντίστροφο;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4544
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Δευ Μαρ 20, 2017 7:09 pm

Έστω π. χ. c < b

Ας είναι T\,\,,K τα σημεία τομής της {B_1}{C_1} με τη BC και AM.

Έστω δε 2s = a + b + c = 3a θα είναι :

\boxed{A{C_1} = A{B_1} = s - a = \dfrac{a}{2}\,\,,B{C_1} = B{A_1} = s - b = \dfrac{{3a}}{2} - b\,\,,C{A_1} = C{B_1} = s - c}

Επειδή τα σημεία {A_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T αρμονικά συζυγή των B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C θα είναι :

\dfrac{{{A_1}B}}{{{A_1}C}} = \dfrac{{TB}}{{TC}} \Rightarrow \dfrac{{TB}}{{TC}} = \dfrac{{s - b}}{{s - c}} \Rightarrow \dfrac{{TB}}{{TC - TB}} = \dfrac{{s - b}}{{b - c}} και άρα TB = \dfrac{{a(s - b)}}{{b - c}} συνεπώς

Διχοτόμηση με συνθήκη.png
Διχοτόμηση με συνθήκη.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


\dfrac{{TB}}{{TM}} = \dfrac{{TB}}{{TB + BM}} = \dfrac{{a\dfrac{{s - b}}{{b - c}}}}{{a\dfrac{{s - b}}{{b - c}} + \dfrac{a}{2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TB}}{{TM}} = \dfrac{{s - b}}{{s - a}}}\,\,(1)


Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABM με τέμνουσα \overline {T{C_1}K} έχω


\dfrac{{A{C_1}}}{{{C_1}B}} \cdot \dfrac{{TB}}{{TM}} \cdot \dfrac{{MK}}{{KA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{s - a}}{{s - b}} \cdot \dfrac{{s - b}}{{s - a}} \cdot \dfrac{{MK}}{{KA}} = 1 . Άρα MK = KA.


Τώρα βλέπω ότι ζητείται αν ισχύει το αντίστροφο . Δεν το εξέτασα αλλά εικάζω όχι.

Θα το δω .


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 332
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Μαρ 20, 2017 7:16 pm

Ευχαριστώ πολύ για την λύση κύριε Νίκο !


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3569
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 20, 2017 7:35 pm

Είναι και εδώ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4544
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Δευ Μαρ 20, 2017 8:05 pm

Επειδή \boxed{\frac{{TB}}{{TM}} = \frac{{TB}}{{TB + BM}} = \frac{{a\frac{{s - b}}{{b - c}}}}{{a\frac{{s - b}}{{b - c}} + \frac{a}{2}}} = \frac{{2(s - b)}}{{2s - (b + c)}}} αν MK = KA αναγκαστικά

\boxed{\frac{{TB}}{{TM}} = \frac{{s - b}}{{s - a}} = \frac{{2s - 2b}}{{2s - 2a}}} και άρα 2a = b + c

Άρα τελικά ισχύει και το αντίστροφο.

Χάρη θα μπορούσα να έχω τη λύση που προβλέπει η πηγή ;


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1022
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 20, 2017 11:32 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC με b+c=2a. Έστω A_1,B_1,C_1 τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρες BC,CA,AB αντίστοιχα. Να δειχτεί ότι η διάμεσος AM του τριγώνου διχοτομείται απο το ευθύγραμμο τμήμα B_1,C_1.

Ίσχύει το αντίστροφο;


Στο παρακάτω σχήμα είναι \displaystyle{BD = m,CE = n,AZ = p}

Με \displaystyle{BD,CE,AZ \bot {B_1}{C_1} \Rightarrow BD,CE//AZ \Rightarrow \frac{m}{p} = \frac{{\tau  - b}}{{\tau  - \alpha }} \Rightarrow m = \frac{{\tau  - b}}{{\tau  - \alpha }} \cdot p} και \displaystyle{\frac{n}{p} = \frac{{\tau  - c}}{{\tau  - \alpha }} \Rightarrow n = \frac{{\tau  - c}}{{\tau  - \alpha }} \cdot p}

Στο τραπέζιο \displaystyle{DECB} η \displaystyle{MN} είναι διάμεσος κι επομένως \displaystyle{2MN = m + n = \frac{{2\tau  - (b + c)}}{{\tau  - \alpha }} \cdot p = \frac{{2\tau  - 2\alpha }}{{\tau  - a}} \cdot p \Rightarrow 2MN = 2p \Rightarrow \boxed{{\text{ }}MN = p}}
κι επειδή \displaystyle{AZ//MN \Rightarrow \boxed{AK = KM}}

Αντίστροφα

\displaystyle{AK = KM \Rightarrow 2p = 2MN = m + n = \left( {\frac{{\tau  - b}}{{\tau  - \alpha }} + \frac{{\tau  - c}}{{\tau  - \alpha }}} \right) \cdot p \Rightarrow 2(\tau  - \alpha ) = 2\tau  - (b + c) \Leftrightarrow \boxed{2a = b + c}}

dms.png
dms.png (30.05 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mikesar και 1 επισκέπτης