Παράλληλη προς την κοινή χορδή

KARKAR · #1

: Παράλληλη στην κοινή χορδή.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

Κύκλος

ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου διαμέτρου

σε σημείο

, τέμνει την

σε δύο σημεία , ένα των οποίων ονομάζουμε

. Ο κύκλος (Q,QB)

τέμνει τον (O)

στα σημεία P,T

. Ονομάζουμε

το σημείο στο οποίο η

τέμνει το ημικύκλιο

και

το σημείο τομής της

με τον

. Δείξτε ότι το εφαπτόμενο τμήμα

από το σημείο

προς τον μικρό κύκλο , είναι παράλληλο προς την

.

#2

KARKAR έγραψε:Παράλληλη στην κοινή χορδή.pngΚύκλος ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου διαμέτρου σε σημείο , τέμνει την σε δύο σημεία , ένα των οποίων ονομάζουμε . Ο κύκλος τέμνει τον στα σημεία . Ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η τέμνει το ημικύκλιο και το σημείο τομής της με τον . Δείξτε ότι το εφαπτόμενο τμήμα από το σημείο προς τον μικρό κύκλο , είναι παράλληλο προς την .

$\bullet$ Έστω $R\equiv KB\cap \left( Q \right),R\ne B$ . Έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων στο κοινή εφαπτομένη των κύκλων $\left( O \right),\left( X \right)$ και κοινή εφαπτομένη των $\left( O \right),\left( Q \right)$ .

Τότε το θα είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων $\left( O \right),\left( X \right),\left( Q \right)$ και συνεπώς θα ανήκει και στον ριζικό άξονα των $\left( X \right),\left( Q \right)$ , δηλαδή στην κοινή τους χορδή .

Με σημείο του ριζικού άξονα των $\left( X \right),\left( Q \right)$ προκύπτει ότι $D_{_{\left( X \right)}}^K = D_{_{\left( Q \right)}}^K \Rightarrow KL \cdot KS = KR \cdot KB \Rightarrow S,L,R,B$ ομοκυκλικά και ας είναι $\left( Y \right)$ ο περίκυκλός τους.

Αν $F \equiv RL \cap SW,E \equiv RL \cap BW$ τότε θα έχουμε

$\angle FSL \equiv KSF\mathop = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,...\,\sigma \tau o\nu \,\,\left( O \right)} \angle KBS$ $\equiv \angle RBS\mathop = \limits^{S,L,R,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle FLS \Rightarrow FS = FL$

και με εφαπτόμενη του $\left( X \right)\Rightarrow FL$ εφαπτόμενη του $\left( X \right)$ .
[attachment=0]Παράλληλη προς την κοινή χορδή.png[/attachment]
Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι είναι εφαπτόμενη του κύκλου $\left( Q \right)$ και συνεπώς το είναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των $\left( X \right),\left( Q \right)$ και άρα διχοτομείται από το ριζικό τους άξονα (γνωστή απλή πρόταση) οπότε $M\equiv TP\cap LR$ είναι το μέσο της , δηλαδή $\boxed{ML = MR}:\left( 1 \right)$ .

$\bullet$ Από τα εφαπτόμενα τμήματα του $\left( Q \right)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο (έστω $\left( C \right)$ ) διαμέτρου και είναι «χαρταετός» οπότε αν $D\equiv LQ\cap NR$ , τότε το μέσο του $RN \Rightarrow \boxed{DR = DN}:\left( 2 \right)$ .

Με ριζικό άξονα των κύκλων $\left( X \right),\left( C \right)$ και ριζικό άξονα των κύκλων $\left( Q \right),\left( C \right)$ προκύπτει ότι το σημείο $D\equiv LQ\cap NR$ είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων $\left( C \right),\left( X \right),\left( Q \right)$ άρα και σημείο του ριζικού άξονα των $\left( X \right),\left( Q \right)$ , δηλαδή σημείο της . Έτσι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Τέλος από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ και από το τρίγωνο $\vartriangle LRN \Rightarrow MD\parallel LN \Rightarrow \boxed{PQ\parallel LN}$ (το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο στην τρίτη) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

KARKAR · #3

: Παρατηρήσεις.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Βάζω ένα σχήμα που ίσως αξιοποιηθεί για κάποια απλοποίηση της λύσης .

Ας σημειωθεί ότι η

είναι η κοινή χορδή , άρα κάθετη στην διάκεντρο

...

Παράλληλη προς την κοινή χορδή

Παράλληλη προς την κοινή χορδή

Re: Παράλληλη προς την κοινή χορδή

Re: Παράλληλη προς την κοινή χορδή

Μέλη σε σύνδεση