ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Με τόσα που έχω προτείνει στο παρελθόν σχετικά με τις γεωμετρικές ανισότητες , η παρακάτω δεν είναι πια πρωτότυπη...
Σκέφτομαι μήπως έχω κουράσει κάποιους με την έμφαση που έχω δώσει...

Σε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι
$a\left ( s-a \right )+b\left ( s-b \right )+c\left ( s-c \right )\geq 2\sqrt{3}sr.$

Ζητώ συγνώμη γιατί αρχικά αντί για έγραψα

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Με τόσα που έχω προτείνει στο παρελθόν σχετικά με τις γεωμετρικές ανισότητες , η παρακάτω δεν είναι πια πρωτότυπη...
Σκέφτομαι μήπως έχω κουράσει κάποιους με την έμφαση που έχω δώσει...

Σε τρίγωνο αποδείξτε ότι
$a\left ( s-a \right )+b\left ( s-b \right )+c\left ( s-c \right )\geq 2\sqrt{3}sr.$

Ζητώ συγνώμη γιατί αρχικά αντί για έγραψα

Καλημέρα Τηλέμαχε.
Ευχαριστούμε για τα ωραία θέματα που προτείνεις.!!!

Ισχύει: $\displaystyle \cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\Rightarrow a(s-a)=\frac{abc}{s}\cos^2{\frac{A}{2}}$

$\displaystyle a(s-a)+b(s-b)+s(s-c)=$ $\displaystyle\frac{abc}{s}\Big(\cos^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}\Big)\geq \frac{abc}{s}\frac{\sqrt{3}s}{2R}=2\sqrt{3}sr$

Εδώ αποδείξαμε την $\displaystyle (\cos^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}\Big)\geq \frac{\sqrt{3}s}{2R}$

#3

Ακόμα μία Ενδιαφέρουσα ανισότητα εδώ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σε προηγούμενη δημοσίευση έδειξα ότι αν μήκη πλευρών τριγώνου , τότε οι $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ αποτελούν πλευρές τριγώνου με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ίση με $\sqrt{Rr}$ και με εμβαδόν το μισό του

$\displaystyle\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}=\frac{a\left ( s-a \right )+b\left ( s-b\right )+c\left ( s-c \right )}{(ABC)}$

Αν εφαρμόσουμε στο τρίγωνο με πλευρές $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ την ανισότητα $Weitzenb\ddot{o}ck$ προκύπτει ότι

$\displaystyle a\left ( s-a \right )+b\left ( s-b\right )+c\left ( s-c \right )\geq 4\sqrt{3} \frac{(ABC)}{2}=2\sqrt{3}(ABC)$

dement · #4

Διαφορετικά:

Το γινόμενο

ισούται με το εμβαδόν $E = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ .

Θέτοντας $A \equiv s-a, B \equiv s-b, C \equiv s-c$ έχουμε s = A + B + C, a = B+C, b = A+C, c = A+B

και η ανισότητα γίνεται $AB + BC + AC \geqslant \sqrt{3 ABC(A+B+C)}$ που είναι η ανισότητα Newton.

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

Re: ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

Re: ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

Re: ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΙΑ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ...

Μέλη σε σύνδεση