ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δείτε κι αυτήν , ίσως κάτι αξίζει...

Σε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι

$\sqrt{bc\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}+\sqrt{ca\left ( s-c \right )\left ( s-a \right )}+\sqrt{ab\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )}\geq 2\sqrt{3}sr.$

#2

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

$\sqrt{bc\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}+\sqrt{ca\left ( s-c \right )\left ( s-a \right )}+\sqrt{ab\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )}\geq 3\sqrt[3]{abc(s-a)(s-b)(s-c)}$

Από τον τύπο του Ήρωνα $\dfrac{E^2}{s}=(s-a)(s-b)(s-c)$ . Σε συνδυασμό με τον τύπο abc=4RE

το δεύτερο μέλος γίνεται $3\sqrt[3]{\dfrac{4R}{s}}E.$

Αρκεί επομένως $3\sqrt[3]{\dfrac{4R}{s}}\geq 2\sqrt{3}$ ή $27R^2\geq 4s^2$ που είναι γνωστή.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Να ευχαριστήσω τον Παύλο Μαραγκουδάκη για τη λύση του.

Ας δούμε το πώς κατέληξα σε αυτήν την ανισότητα...

Σε προηγούμενη δημοσίευση έδειξα ότι αν a,b,c

μήκη πλευρών τριγώνου , τότε οι $\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$ αποτελούν πλευρές τριγώνου με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ίση με $\sqrt{Rr}$ και με εμβαδόν το μισό του ABC.

Θα αποδειχθεί μια ανισότητα , συγκεκριμένα θα αποδειχθεί ότι σε τρίγωνο ABC

ισχύει $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E$ , όπου

το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

$\left (ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c \right )=3\cdot 4ER2s\geq3 \cdot 4E2r2s=3\cdot 16E^{2}$

Αν γίνει αποτετραγωνισμός προκύπτει η $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E.$

Το θέμα που προτείνω δεν είναι παρά η εφαρμογή της ανισότητας αυτής στο τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές
$\sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}$

Τίποτε άλλο...

#4

Πολύ ενδιαφέρον.
Μια άλλη προσέγγιση μέσω του τύπου $\sin\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{(s-b)(s-c)}{bc}}.$
Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον νόμο των συνημιτόνων $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ και τον τύπο αποτετραγωνισμού $\sin^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{2}.$
Επομένως $\sqrt{bc(s-b)(s-c)}=bc\sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{E}{\cos\dfrac{A}{2}}.$
H ανισότητα επομένως είναι ισοδύναμη της
$\dfrac{1}{\cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{C}{2}}\geq 2\sqrt{3}$

H συνάρτηση $\dfrac{1}{\cos x}$ είναι κυρτή στο διάστημα $(0,\dfrac{\pi}{2})$ οπότε από την ανισότητα Jensen

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{C}{2}}\geq\dfrac{3}{\cos\dfrac{A+B+C}{6}}= 2\sqrt{3}$

ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Re: ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Re: ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Re: ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Μέλη σε σύνδεση