Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

#1

: Συνευθειακότητα τομών και παραλληλίες.png (46.14 KiB) Προβλήθηκε 1325 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τυχόν σημείο στο εσωτερικό του . Οι εκ του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις εκ των παράλληλες ευθείες προς τυχούσα διεύθυνση $\left( \varepsilon \right)$ του επιπέδου του τριγώνου στα σημεία αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία $CK\cap B{A}'\equiv {A}'',KA\cap B{C}'\equiv {C}'',K{B}'\cap {C}'{A}'\equiv {B}''$ είναι συνευθειακά και μάλιστα η ευθεία είναι παράλληλη προς την $\left( \varepsilon \right)$ .

Στάθης

#2

$\bullet$ Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι η τυχούσα ευθεία $(\varepsilon)$ της εκφώνησης, περνάει από την κορυφή

του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC.$

Έστω το σημείο $M\equiv A'C'\cap BB'$ και ας είναι

το σημείο επί της AC,

ώστε να είναι $KL\parallel AA'\equiv (\varepsilon)\parallel BB'\parallel CC'.$

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι $\boxed{KL = BM}\ \ \ (1)$

Δια του σημείου B'',

φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την KL,

η οποία τέμνει την ευθεία

στο σημείο έστω

Ορίζουμε το σημείο C'',

ως το σημείο τομής της ευθείας $B''N\parallel (\varepsilon)$ από την ευθεία BC'

και αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία $K,\ A,\ C''$ είναι συνευθειακά.

: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία.; f=185_t=58807.png (21.84 KiB) Προβλήθηκε 1207 φορές

$\bullet$ Από $B''N\parallel = KL\parallel = BM\Rightarrow$ $NB\parallel = B''M\Rightarrow$ $\boxed{NB\parallel B''C'}\ \ \ ,(2)$

Από $(2)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{NB}{B''C'} = \frac{C''B}{C''C'}}\ \ \ ,(3)$

Τα τρίγωνα $\vartriangle ANB,\ \vartriangle KB''C'$ είναι όμοια, λόγω $AN\parallel KB''$ και $AB\parallel KC'$ και $NB\parallel B''C'$ και επομένως, ισχύει $\boxed{\displaystyle \frac{NB}{B''C'} = \frac{BA}{C'K}}\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{C''B}{C''C'} = \frac{BA}{C'K}}\ \ \ ,(5)$

Από (5),

σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $K,\ A,\ C'',$ είναι συνευθειακά. (*)

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι το σημείο έστω A'',

τομής της ευθείας $B''N\parallel (\varepsilon)$ από την ευθεία KC,

ανήκει στην ευθεία A'B

και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με $AB\parallel CD$ και έστω $K,\ L,$ δύο σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι $AK\parallel CL$ και $BL\parallel DK.$ Οι δια των σημείων $K,\ L,$ παράλληλες ευθείες προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνουν τις $BC,\ AD,$ στα σημεία $M,\ N,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι

(*) Μία άμεση τεκμηρίωση ότι τα σημεία $K,\ A,\ C''$ είναι συνευθειακά, προκύπτει από το ότι τα τρίγωνα $\vartriangle ANB,\ \vartriangle KB''C'$ είναι προοπτικά, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques ( θεωρώντας ότι τα σημεία τομής των παράλληλων ευθειών των ομολόγων πλευρών τους, ανήκουν στην ίδια ευθεία σε άπειρη απόσταση ) και άρα, η ευθεία που συνδέει τις ομόλογες κορυφές τους $A,\ K,$ περνάει από το σημείο $C''\equiv NB''\cap BC'$ ( = κέντρο προοπτικότητας των ως άνω τριγώνων ).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.

#3

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με $AB\parallel CD$ και έστω $K,\ L,$ δύο σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι $AK\parallel CL$ και $BL\parallel DK.$ Οι δια των σημείων $K,\ L,$ παράλληλες ευθείες προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνουν τις $BC,\ AD,$ στα σημεία $M,\ N,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι

: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία - Απόδειξη του Λήμματος.; f=185_t=58807(a).png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 1206 φορές

Δια του σημείου

φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις $KA,\ KD,$ οι οποίες τέμνουν τις $AB,\ CD,$ στα σημεία $E,\ Z,$ αντιστοίχως.

Από $AE\parallel = KM$ και $DZ\parallel = KM\Rightarrow$ $AE\parallel = DZ.$

Στο τραπέζιο EBCZ,

σύμφωνα με γνωστό αποτέλεσμα που έχουμε ξαναδεί στο

, το σημείο

κείται επί τη EZ.

Στο παραλληλόγραμμο AEZD

τώρα, συμπεραίνεται ότι $LN\parallel = AE\parallel = KL$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

Re: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση