Συνευθειακά από επαφή και τομές
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Συνευθειακά από επαφή και τομές
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται
εξωτερικά σε σημείο του και εσωτερικά σε σημείο του .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία
ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Ενδιαφέρον Θέμα Νίκο , αλλά νομίζω ότι είναι πολυ βαρύς ο φάκελος για το θέμα αυτό. Θα μπορούσε να βρίσκεται άνετα στην Β Λυκείου, η κατασκευή μάλιστα (του 1ου ερωτήματος) είναι ίδια και στην περίπτωση που οι αρχικοί κύκλοι δεν είναι ίσοιDoloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png
Δύο ίσοι κύκλου τέμνονται στα .
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται
εξωτερικά σε σημείο του και εσωτερικά σε σημείο του .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία
ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Όντως, ωραίο πρόβλημα, αλλά για την κατασκευή του κύκλου ( με ίσους τους δοσμένους κύκλους ) και την απόδειξη της συνευθειακότητας των , σχεδόν μονόδρομος.
Θα στοιχημάτιζα ότι αν πέντε λύτες, ανεξάρτητα ο καθένας, στείλουν τις λύσεις τους με προσωπικό μήνυμα στον θεματοδότη, αυτές θα είναι ίδιες.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ίσως μία ιδέα θα ήταν να υπάρχει μία χρονική καθυστέρηση ( κατά το "ανθρωπίνως" δυνατόν ) στην ανάρτηση της πρώτης λύσης από τους "συνήθεις υπόπτους", ώστε να δίνεται η ευκαιρία να προηγηθούν, τα νεότερα και ιδιαίτερα τα νεαρής ηλικίας μέλη.
Θα στοιχημάτιζα ότι αν πέντε λύτες, ανεξάρτητα ο καθένας, στείλουν τις λύσεις τους με προσωπικό μήνυμα στον θεματοδότη, αυτές θα είναι ίδιες.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ίσως μία ιδέα θα ήταν να υπάρχει μία χρονική καθυστέρηση ( κατά το "ανθρωπίνως" δυνατόν ) στην ανάρτηση της πρώτης λύσης από τους "συνήθεις υπόπτους", ώστε να δίνεται η ευκαιρία να προηγηθούν, τα νεότερα και ιδιαίτερα τα νεαρής ηλικίας μέλη.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Καλημέρα σε όλους!Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png
Δύο ίσοι κύκλου τέμνονται στα .
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται
εξωτερικά σε σημείο του και εσωτερικά σε σημείο του .
Για την κατασκευή. Κατασκευή: Έστω τα κέντρα των αντίστοιχα, ένα σημείο του κύκλου και το συμμετρικό του ως προς
Η μεσοκάθετη του τέμνει την στο Ο κύκλος είναι ο ζητούμενος.
Απόδειξη: Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο Από κατασκευής ο κύκλος εφάπτεται εσωτερικά στον
στο Αρκεί να δείξω ότι εφάπτεται εξωτερικά στον στο Λόγω της μεσοκαθέτου είναι κι επειδή είναι
θα είναι και
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Άλλη μία κατασκευή.
Ο κύκλος είναι ο ζητούμενος.
Έστω σημείο του και το μέσο του Η τέμνει τον στο και η την στο Ο κύκλος είναι ο ζητούμενος.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
1) Από τυχόν σημείο της ευθείας (ριζικός άξονας των ) , με εξωτερικό του τμήματος φέρνουμε τις εφαπτόμενες των προς το ίδιο μέρος της και ας είναι τα σημεία επαφής αντίστοιχα. Τότε το είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου , αφού με και (τα ορθογώνια τρίγωνα είναι προφανώς ίσα) και ο εφάπτεται στους κύκλους (εξωτερικά και εσωτερικά αντίστοιχα) αφού τα σημεία «επαφής» βρίσκονται επί της διακέντρου τους.Doloros έγραψε:Δύο ίσοι κύκλου τέμνονται στα .
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται εξωτερικά σε σημείο του και εσωτερικά σε σημείο του .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
[attachment=0]Συνευθειακά από επαφή και τομές.png[/attachment]
2) Τα ισοσκελή τρίγωνα «μοιράζονται» τη γωνία και συνεπώς είναι όμοια, άρα . Αλλά (αφού ρόμβος (γνωστή πρόταση σχολικού σε ίσους τεμνόμενους κύκλους)).
Από συνευθειακά και όλα τα ζητούμενα έχουν κατασκευαστεί και αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Συνευθειακά από επαφή και τομές.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 1467 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Για το 2) ερώτημα, παρόμοια με του Στάθη. Αλλά τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, οπότε κι επειδή τα είναιDoloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png
Δύο ίσοι κύκλου τέμνονται στα .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία
ανήκουν στην ίδια ευθεία.
συνευθειακά και τα θα είναι συνευθειακά.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές
Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png
Δύο ίσοι κύκλου τέμνονται στα .
1.Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται
εξωτερικά σε σημείο του και εσωτερικά σε σημείο του .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία
ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Ας είναι δυο κύκλοι τεμνόμενοι στα ,όχι υποχρεωτικά ίσοι
1.Κατασκευή
Έστω η τομή της εφαπτόμενης του στο και της
Θεωρούμε τον περίκυκλο του και ένα εκ των δύο σημείων τομής του με τον .
Το είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου
Απόδειξη
Από το εγγράψιμο εφαπτόμενη του
κι επειδή εφαπτόμενη του θα είναι και εφαπτόμενη του
2. Έστω
Είναι (υπό χορδής-εφαπτόμενης),άρα
Λόγω του εγγράψιμου κι επειδή εφαπτόμενη του οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες
Επίσης εφαπτόμενη του άρα και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες
Έτσι (), και λόγω ισότητας των τα τόξα τους είναι ίσα
οπότε παραλ/μμο
Από συνευθειακά
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες