Όμορφη επαφή κύκλων από μέσο, τομές και επαφές
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Όμορφη επαφή κύκλων από μέσο, τομές και επαφές
Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος οξυγώνιου τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα και η ευθεία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα σημεία και Αν το μέσο του τμήματος , να δείξετε ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Όμορφη επαφή κύκλων από μέσο, τομές και επαφές
Αρχικά επειδή , το παράκεντρο ανήκει στον
Θεωρούμε τα σημεία και το σήμειο που εφάπτεται στον Παρεγγεγραμένο κύκλο η εφαπτομένη απο το
Θα δείξουμε πως εφάπτεται και στον στο
Πρώτον επειδή η πολική του ως προς τον Παρεγγεγραμένο είναι η και , συμπεραίνουμε ( από Θεώρημα La Hire ) ότι ανήκει στην πολική του , δηλαδή συνευθειακά
Τώρα θέλουμε να δείξουμε πως είναι εγγράψιμο
Έστω
Θα είναι και από τα Ορθογώνια τρίγωνα και συμπεραίνουμε πως είναι μέσο της
Άρα
άρα, εγγράψιμο, όπως θέλαμε.
Τέλος με δύναμη σημείου έχουμε άρα εφάπτεται στον στο , δηλαδή οι δύο κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη στο συνεπώς εφάπτονται στο
Νομίζω σχετικά γνωστή άσκηση
Θεωρούμε τα σημεία και το σήμειο που εφάπτεται στον Παρεγγεγραμένο κύκλο η εφαπτομένη απο το
Θα δείξουμε πως εφάπτεται και στον στο
Πρώτον επειδή η πολική του ως προς τον Παρεγγεγραμένο είναι η και , συμπεραίνουμε ( από Θεώρημα La Hire ) ότι ανήκει στην πολική του , δηλαδή συνευθειακά
Τώρα θέλουμε να δείξουμε πως είναι εγγράψιμο
Έστω
Θα είναι και από τα Ορθογώνια τρίγωνα και συμπεραίνουμε πως είναι μέσο της
Άρα
άρα, εγγράψιμο, όπως θέλαμε.
Τέλος με δύναμη σημείου έχουμε άρα εφάπτεται στον στο , δηλαδή οι δύο κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη στο συνεπώς εφάπτονται στο
Νομίζω σχετικά γνωστή άσκηση
Μπατακόγιας Παναγιώτης
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Όμορφη επαφή κύκλων από μέσο, τομές και επαφές
Καλησπέρα και ευχαριστώ τον εξαιερετικό Παναγιώτη για την λύση του ! Ομολογώ ότι δεν γνώριζα αν είναι γνωστή η άσκηση ή όχι, βάζω και τη δική μου λύση
Έστω το παράκεντρο του τριγώνου , η δεύτερη τομή της ευθείας με τον κύκλο και το μέσο του τμήματος
Έχουμε το κέντρο του κύκλου οπότε , όμως
Θεωρούμε το μέσο του τμήματος , τότε , οπότε εγγράψιμο .
Επομένως και συνεπώς ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας
Όμως , στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος γίνεται η ευθεία
Τελικά, στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος και ο κύκλος γίνεται η ευθεία , η οποία εφάπτεται του κύκλου Επομένως και στο αρχικό σχήμα, οι κύκλοι και εφάπτονται, όπως θέλαμε.
Έστω το παράκεντρο του τριγώνου , η δεύτερη τομή της ευθείας με τον κύκλο και το μέσο του τμήματος
Έχουμε το κέντρο του κύκλου οπότε , όμως
Θεωρούμε το μέσο του τμήματος , τότε , οπότε εγγράψιμο .
Επομένως και συνεπώς ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας
Όμως , στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος γίνεται η ευθεία
Τελικά, στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος και ο κύκλος γίνεται η ευθεία , η οποία εφάπτεται του κύκλου Επομένως και στο αρχικό σχήμα, οι κύκλοι και εφάπτονται, όπως θέλαμε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες