Τέλειο τετράγωνο σε άλλη βάση
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Τέλειο τετράγωνο σε άλλη βάση
Έστω ένας ακέραιος. Για κάθε θετικό ακέραιο , θεωρούμε τον αριθμό
γραμμένο σε βάση .
Να αποδείξετε ότι το παρακάτω ισχύει αν και μόνο αν : Υπάρχει ένας θετικός ακέραιος για τον οποίο, για κάθε ακέραιο ,
ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
γραμμένο σε βάση .
Να αποδείξετε ότι το παρακάτω ισχύει αν και μόνο αν : Υπάρχει ένας θετικός ακέραιος για τον οποίο, για κάθε ακέραιο ,
ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τέλειο τετράγωνο σε άλλη βάση
Είναι:
Αν τότε για κάθε ακέραιο ,
και άρα ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Θέτουμε και μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας Είναι:
Εξάλλου, είναι:
Άρα,
Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε για κάθε ακέραιο να ισχύει Τότε για κάθε ισχύει οπότε για αρκούντως μεγάλα θα ισχύει:
ή ισοδύναμα:
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Επίσης, για αρκούντως μεγάλα ,
Επειδή ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, έπεται ότι και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Αν τότε για κάθε ακέραιο ,
και άρα ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Θέτουμε και μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας Είναι:
Εξάλλου, είναι:
Άρα,
Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε για κάθε ακέραιο να ισχύει Τότε για κάθε ισχύει οπότε για αρκούντως μεγάλα θα ισχύει:
ή ισοδύναμα:
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Επίσης, για αρκούντως μεγάλα ,
Επειδή ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, έπεται ότι και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειο τετράγωνο σε άλλη βάση
Εξαιρετική λύση Βαγγέλη στην πολύ όμορφη άσκηση του Σιλουανού!! Ευχαριστούμε!emouroukos έγραψε:Είναι:
Αν τότε για κάθε ακέραιο ,
και άρα ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Θέτουμε και μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας Είναι:
Εξάλλου, είναι:
Άρα,
Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε για κάθε ακέραιο να ισχύει Τότε για κάθε ισχύει οπότε για αρκούντως μεγάλα θα ισχύει:
ή ισοδύναμα:
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Επίσης, για αρκούντως μεγάλα ,
Επειδή ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, έπεται ότι και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Σιλουανέ ποια η πηγή της;
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Τέλειο τετράγωνο σε άλλη βάση
Βαγγέλη ευχαριστούμε για την όμορφη λύση!
Αλέξανδρε η άσκηση είναι από την ΙΜΟ shortlist του 2003. Μπορείτε να δείτε και εδώ: http://artofproblemsolving.com/community/c6h5797p19129
Αλέξανδρε η άσκηση είναι από την ΙΜΟ shortlist του 2003. Μπορείτε να δείτε και εδώ: http://artofproblemsolving.com/community/c6h5797p19129
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες