Αδύνατη διοφαντική

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Αδύνατη διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 24, 2016 3:04 pm

Να αποδειχθεί πως δεν υπάρχουν ακέραιοι a και b, έτσι ώστε:

b^2-101a^3=48

Υ.Γ. Έχω σκεφτεί μία απόδειξη, αλλά δεν ξέρω αν υπάρχει ευκολότερη.


Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
αδύνατη
διοφαντική
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: Αδύνατη διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 24, 2016 4:13 pm

Η εξίσωση είναι αδύνατη \bmod 101.

Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση b^2 \equiv 48 \bmod 101 είναι αδύνατη.

Για να το δείξουμε αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο Legendre και τον νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής. Βάζω σε συντομία την θεωρία σε απόκρυψη και ακολούθως την λύση της άσκησης:
'Εστω p περιττός πρώτος. Ορίζουμε το σύμβολο Legendre ως εξής:

\displaystyle{ \left( \frac{a}{p} \right) = \begin{cases} 0 & \text{\gr αν } p|a \\ 1 & \text{\gr αν υπάρχει } x \not \equiv 0 \bmod p \text{ \gr με } x^2 \equiv a \bmod p \\ -1 & \text{\gr αν δεν υπάρχει } x \text{ \gr με } x^2 \equiv a \bmod p\end{cases}}

Οι βασικοί κανόνες υπολογισμού του συμβόλου είναι οι εξής:

(1) \displaystyle{ \left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right)\left( \frac{b}{p} \right)}

(2) \displaystyle{ \left( \frac{-1}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{\gr αν } p \equiv 1 \bmod 4\\ -1 & \text{\gr αν } p \equiv 3 \bmod 4\end{cases}}

(3) \displaystyle{ \left( \frac{2}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{\gr αν } p \equiv 1,7 \bmod 8\\ -1 & \text{\gr αν } p \equiv 3,5 \bmod 8\end{cases}}

(4) [Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής] Αν p,q περιττοί πρώτοι τότε:

\displaystyle{ \left( \frac{p}{q} \right) = \begin{cases} \left( \frac{q}{p} \right) & \text{\gr αν } p \equiv 1 \bmod 4 \text{ \gr ή } q \equiv 1 \bmod 4\\ -\left( \frac{q}{p} \right) & \text{\gr αν } p \equiv q \equiv 3 \bmod 4\end{cases}}
Στην περίπτωσή μας έχουμε

\displaystyle{ \left( \frac{48}{101} \right) = \left( \frac{3}{101} \right)\left( \frac{16}{101} \right) = \left( \frac{3}{101} \right) = \left( \frac{101}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right) = -1}

Άρα δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση b^2 \equiv 48 \bmod 101

Επεξεργασία: Μετέφερα τα γραφόμενα στην απόκρυψη και εδώ. Σύντομα θα το βελτιώσω με περισσότερα παραδείγματα/λεπτομέρειες κ.τ.λ.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αδύνατη διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Δεκ 24, 2016 5:49 pm

Αυτήν ακριβώς την λύση είχα στο νου μου, όταν κατασκεύασα αυτή την άσκηση (ήθελα να παραπλανήσω με το a^3, γιατί στην πραγματικότητα η εξίσωση ήταν αδύνατη και με σκέτο a :lol: ). Απλώς ήθελα να δω μήπως υπάρχει μια πιο στοιχειώδης αντιμετώπιση.


Houston, we have a problem!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης