ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Να βρειτε ολα τα ζευγαρια των θετικων ακεριαων που ικανοποιουν την εξησωση¨
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Θέλουμε να ισχύει ότι:
Έστω η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το είναι
Από το θεώρημα , από το ότι και έχουμε ότι
Άρα πρέπει .
Όμως
Πρέπει να ισχύει δηλαδή ότι:
που ισχύει μόνο όταν
Η περίπτωση απορρίπτεται.
Μοναδικά ζεύγη λοιπόν είναι τα:
(
Έστω η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το είναι
Από το θεώρημα , από το ότι και έχουμε ότι
Άρα πρέπει .
Όμως
Πρέπει να ισχύει δηλαδή ότι:
που ισχύει μόνο όταν
Η περίπτωση απορρίπτεται.
Μοναδικά ζεύγη λοιπόν είναι τα:
(
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Φεβ 04, 2017 3:16 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Μια λύση ελπίζω σωστή. Είναι . Από . Ας είναι , όπου φυσικός και περιττός θετικός ακέραιος. Τότε πρέπει . Και αφού , πρέπει . Επαγωγικά δείχνουμε ότι για , έχουμε άτοπο. Συνεπώς, . Για πρέπει . Συνεπώς, έχουμε την λύση . Για πρέπει . Συνεπώς, και έχουμε την λύση . Για , πρέπει . Συνεπώς, . Επομένως, οι μόνες λύσεις είναι οιDatis-Kalali έγραψε:Να βρειτε ολα τα ζευγαρια των θετικων ακεριαων που ικανοποιουν την εξησωση¨
Bye :')
Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Για έχουμε :
Όμως :
Άρα η εξίσωση γράφεται :
Παρατηρούμε ότι : και πως επαγωγικά ισχύει άρα και για , άρα για δεν έχουμε λύση για την σκεπτόμενοι την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του αριστερού και δεξιού μέλους της .
Τελικά προκύπτουν οι
Όμως :
Άρα η εξίσωση γράφεται :
Παρατηρούμε ότι : και πως επαγωγικά ισχύει άρα και για , άρα για δεν έχουμε λύση για την σκεπτόμενοι την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του αριστερού και δεξιού μέλους της .
Τελικά προκύπτουν οι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες