Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 133
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 04, 2013 8:24 pm
- Τοποθεσία: Αθηνα
Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου
Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο που είναι είναι square free, υπάρχει πρώτος και ακέραιος έτσι ώστε:
και
και
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου
ΛΗΜΜΑ: Έστω πρώτοι με . Τότε η εξίσωση έχει λύση για κάθε .
Πράγματι, έστω μονάδες με . Τότε . Αφού ισχύει . Άρα η συνάρτηση είναι μετάθεση του (αφού προφανώς ). Συγκεκριμένα, για κάποιο ισχύει .
Παίρνουμε τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του . Από το λήμμα, για κάθε έναν από τους άλλους πρώτους διαιρέτες υπάρχει ισοτιμία με . Έτσι, από το Chinese remainder theorem, υπάρχει αριθμός με .
Πράγματι, έστω μονάδες με . Τότε . Αφού ισχύει . Άρα η συνάρτηση είναι μετάθεση του (αφού προφανώς ). Συγκεκριμένα, για κάποιο ισχύει .
Παίρνουμε τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του . Από το λήμμα, για κάθε έναν από τους άλλους πρώτους διαιρέτες υπάρχει ισοτιμία με . Έτσι, από το Chinese remainder theorem, υπάρχει αριθμός με .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες