Putnam 2017/B2
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2017/B2
Δίνεται θετικός ακέραιος ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα διαφορετικών θετικών ακεραίων
για αλλά όχι για οποιαδήποτε άλλη τιμή Από όλους τους θετικούς ακέραιους με αυτήν την ιδιότητα, ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που εμφανίζεται σε αυτές τις σχέσεις;
για αλλά όχι για οποιαδήποτε άλλη τιμή Από όλους τους θετικούς ακέραιους με αυτήν την ιδιότητα, ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που εμφανίζεται σε αυτές τις σχέσεις;
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2017/B2
Έμεινε πολύ καιρό άλυτη ...
Αν μπορεί ο Δημήτρης, να κοιτάξει αν είναι σωστή.
Είναι .
Θα δείξουμε ότι .
Πρώτα, ας δείξουμε ότι γίνεται το να πάρει αυτήν την τιμή.
Έστω λοιπόν , οπότε .
Έστω, πως υπάρχουν ώστε .
Τότε,
α) Αν άρτιος, οπότε , είναι ή (αφού ο είναι πρώτος). Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν εύκολα άτοπο.
β) Αν περιττός, είναι , άρα (). Εύκολα και από εδώ έχουμε άτοπο.
Άρα δείξαμε ότι γίνεται .
Μένει να δειχτεί ότι δεν γίνεται .
Για να ο επιτύχουμε αυτό, θα βρούμε κατάλληλα ώστε , με .
Για άρτιο, είναι , και αν , με περιττό, έχουμε .
Θέλουμε . Επιλέγουμε , και .
Αν δείξουμε τώρα ότι , θα έχουμε βρει τα κατάλληλα , που δείχνουν πως δεν γίνεται .
Είναι , άρα .
Για περιττό, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία ().
Έτσι, .
Edit: Έγιναν κάποιες διορθώσεις. Ευχαριστώ τον Δημήτρη (Demetres).
Αν μπορεί ο Δημήτρης, να κοιτάξει αν είναι σωστή.
Είναι .
Θα δείξουμε ότι .
Πρώτα, ας δείξουμε ότι γίνεται το να πάρει αυτήν την τιμή.
Έστω λοιπόν , οπότε .
Έστω, πως υπάρχουν ώστε .
Τότε,
α) Αν άρτιος, οπότε , είναι ή (αφού ο είναι πρώτος). Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν εύκολα άτοπο.
β) Αν περιττός, είναι , άρα (). Εύκολα και από εδώ έχουμε άτοπο.
Άρα δείξαμε ότι γίνεται .
Μένει να δειχτεί ότι δεν γίνεται .
Για να ο επιτύχουμε αυτό, θα βρούμε κατάλληλα ώστε , με .
Για άρτιο, είναι , και αν , με περιττό, έχουμε .
Θέλουμε . Επιλέγουμε , και .
Αν δείξουμε τώρα ότι , θα έχουμε βρει τα κατάλληλα , που δείχνουν πως δεν γίνεται .
Είναι , άρα .
Για περιττό, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία ().
Έτσι, .
Edit: Έγιναν κάποιες διορθώσεις. Ευχαριστώ τον Δημήτρη (Demetres).
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τρί Μάιος 29, 2018 9:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2017/B2
Σωστά. Όταν όμως δείχνεις την περίπτωση , το έκανες μόνο για άρτιο. Ευτυχώς η ίδια λύση δουλεύει και για περιττό. (Δεν αλλάζει κάτι αν .)
[Υπάρχουν και κάποια τυπογραφικά. Π.χ. εκεί που λες , εννοείς .]
[Υπάρχουν και κάποια τυπογραφικά. Π.χ. εκεί που λες , εννοείς .]
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 4 επισκέπτες