Διαιρετότητα!

Datis-Kalali · #1

Να βρείτε όλες τις μη-αρνητικούς ακέραιους (a,b,c)

, έτσι ώστε $2^c-1 \vert 2^a+2^b+1$

#2

Για

είναι $2^c-1 = \pm 1$ οπότε οποιεσδήποτε τιμές των a,b

μας κάνουν.

Για c=2

είναι

. Τα

και

παίρνουν περιοδικά τις τιμές $1,2 \bmod 3$ . Για να έχουμε $2^a + 2^b + 1 \equiv 0 \bmod 3$ πρέπει $2^a \equiv 2^b \equiv 1 \bmod 3$ . Άρα πρέπει a,b

άρτιοι.

Για c=3

είναι

. Τα

και

παίρνουν περιοδικά τις τιμές $1,2,4 \bmod 7$ . Για να έχουμε $2^a + 2^b + 1 \equiv 0 \bmod 7$ πρέπει το ένα από τα 2^a,2^b

να είναι ισότιμο με $2 \bmod 7$ και το άλλο να είναι ισότιμο με $4 \bmod 7$ . Άρα πρέπει $a \equiv 1 \bmod 3$ και $b \equiv 2 \bmod 3$ ή αντίστροφα.

Για $c \geqslant 4$ , παρατηρούμε ότι τα 2^a

και

παίρνουν περιοδικά τις τιμές $1,2,4,...,2^{c-1} \bmod 2^c-1$ . Όμως $2^{c-1} + 2^{c-1} + 1= 2^c + 1$ , και $2^{c-2}+2^{c-1} + 1 = \frac{3}{4} \cdot 2^c + 1 < 2^c - 1$ (αφού $\frac{1}{4} 2^c \geqslant 4$ ). Άρα για οποιεσδήποτε τιμές των a,b

το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2^a+2^b+1

είτε είναι ίσο με

, είτε είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

και μικρότερο του 2^c-1

. Οπότε $2^c-1 \nmid 2^a + 2^b + 1$ .

Διαιρετότητα!

Διαιρετότητα!

Re: Διαιρετότητα!

Μέλη σε σύνδεση