2 πρώτοι και ένας φυσικός
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
2 πρώτοι και ένας φυσικός
Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων , με να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός
Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 amΝα βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων , με να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός
Πρέπει (1).
Έστω πως οι πρώτοι δεν διαιρούνται με το .
Τότε:
, άτοπο (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι είτε της μορφής είτε , με μη αρνητικό ακέραιο ακέραιο και η πρώτη περίπτωση ισχύει μόνο αν η βάση διαιρείται με το ).
Ως αποτέλεσμα ένας τουλάχιστον από τους θα διαιρείται με το .
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) . Λόγω του ότι ο είναι πρώτος έχουμε το ότι .
Επομένως η (1) γίνεται:
Έστω .
Τότε το είναι περιττός, άρα και το θα είναι περιττός. Από γνωστό λήμμα θα είναι , άρα , άτοπο, καθώς .
Άρα και , μια τριάδα λοιπόν είναι η .
2) . Λόγω του ότι ο είναι πρώτος έχουμε το ότι . Επομένως η (1) γίνεται:
. Το είναι προφανώς περιττός. Έστω . Τότε όπως και παραπάνω το είναι περιττός, άρα , άρα , άρα , άτοπο, καθώς .
Αν τώρα τότε έχουμε , άτοπο.
Συνοψίζοντας λοιπόν μοναδική λύση είναι η .
Τώρα σε είδα Ορέστη! Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης ...
Έστω πως οι πρώτοι δεν διαιρούνται με το .
Τότε:
, άτοπο (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι είτε της μορφής είτε , με μη αρνητικό ακέραιο ακέραιο και η πρώτη περίπτωση ισχύει μόνο αν η βάση διαιρείται με το ).
Ως αποτέλεσμα ένας τουλάχιστον από τους θα διαιρείται με το .
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) . Λόγω του ότι ο είναι πρώτος έχουμε το ότι .
Επομένως η (1) γίνεται:
Έστω .
Τότε το είναι περιττός, άρα και το θα είναι περιττός. Από γνωστό λήμμα θα είναι , άρα , άτοπο, καθώς .
Άρα και , μια τριάδα λοιπόν είναι η .
2) . Λόγω του ότι ο είναι πρώτος έχουμε το ότι . Επομένως η (1) γίνεται:
. Το είναι προφανώς περιττός. Έστω . Τότε όπως και παραπάνω το είναι περιττός, άρα , άρα , άρα , άτοπο, καθώς .
Αν τώρα τότε έχουμε , άτοπο.
Συνοψίζοντας λοιπόν μοναδική λύση είναι η .
Τώρα σε είδα Ορέστη! Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης ...
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης