Ακολουθία ακεραίων
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Ακολουθία ακεραίων
Έστω μια ακολουθία θετικών ακεραίων ώστε για κάθε δύο θετικούς ακεραίους να ισχύει ότι .
Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε .
Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ακολουθία ακεραίων
Θεωρώ τις ακολουθίες
...
Κάθε ακολουθια έχει την ιδιότητα κάθε όρος της να διαφέρει από τον προηγούμενο και τον επόμενο.
Θα λέμε ότι 2 ακολουθίες έχουν την ιδιότητα Α όταν υπάρχουν , ώστε
.
Θα απόδείξω ότι έχουν την ιδιότητα A για κάθε με ισχυρή επαγωγή.
Οι έχουν την ιδιότητα Α, γιατί .
Εστω ότι για κάθε ιδιότητα Α.
Θα δείξω ότι η ιδιότητα Α με οποιαδήποτε προηγούμενη ακολουθία.
ιδιότητα Α διότι .
ιδιότητα Α διότι
...
ιδιότητα Α διότι
ιδιότητα Α διότι .
Θεωρώ τις .
Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.Συνεπώς υπάρχει όρος .
...
Κάθε ακολουθια έχει την ιδιότητα κάθε όρος της να διαφέρει από τον προηγούμενο και τον επόμενο.
Θα λέμε ότι 2 ακολουθίες έχουν την ιδιότητα Α όταν υπάρχουν , ώστε
.
Θα απόδείξω ότι έχουν την ιδιότητα A για κάθε με ισχυρή επαγωγή.
Οι έχουν την ιδιότητα Α, γιατί .
Εστω ότι για κάθε ιδιότητα Α.
Θα δείξω ότι η ιδιότητα Α με οποιαδήποτε προηγούμενη ακολουθία.
ιδιότητα Α διότι .
ιδιότητα Α διότι
...
ιδιότητα Α διότι
ιδιότητα Α διότι .
Θεωρώ τις .
Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.Συνεπώς υπάρχει όρος .
Κώστας
Re: Ακολουθία ακεραίων
Διαφορετικά:
Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, για κάθε θετικό ακέραιο , υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, για κάθε δύο από αυτούς, η διαφορά τους είναι και διαιρέτης του καθενός.
Για ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για .
Για παίρνουμε αριθμούς με την επιθυμητή ιδιότητα και με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί έχουν την επιθυμητή ιδιότητα, ολοκληρώνοντας την επαγωγή.
Από την ιδιότητα της ακολουθίας, οι όροι (όπου αριθμοί με την προαναφερθείσα ιδιότητα) πρέπει να είναι ανά δύο διαφορετικοί. Αφού το είναι αυθαίρετο και η ακολουθία παίρνει τιμές στους θετικούς ακεραίους, έπεται ότι είναι μη φραγμένη άνω (το οποίο συνεπάγεται και το ζητούμενο).
Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, για κάθε θετικό ακέραιο , υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, για κάθε δύο από αυτούς, η διαφορά τους είναι και διαιρέτης του καθενός.
Για ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για .
Για παίρνουμε αριθμούς με την επιθυμητή ιδιότητα και με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί έχουν την επιθυμητή ιδιότητα, ολοκληρώνοντας την επαγωγή.
Από την ιδιότητα της ακολουθίας, οι όροι (όπου αριθμοί με την προαναφερθείσα ιδιότητα) πρέπει να είναι ανά δύο διαφορετικοί. Αφού το είναι αυθαίρετο και η ακολουθία παίρνει τιμές στους θετικούς ακεραίους, έπεται ότι είναι μη φραγμένη άνω (το οποίο συνεπάγεται και το ζητούμενο).
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ακολουθία ακεραίων
Δεν είμαι σίγουρος γι' αυτό. Π.χ. αν όλες ακολουθίες πάνε εναλλάξ τότε έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α αλλά δεν ισχύει το συμπέρασμα.ksofsa έγραψε:Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες