ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

JimVerman · #1

Αν $x,y \ne 0 , x \ne \pm y$ και |x+y|+|x-y|=6

να δειχθεί ότι -9<xy<9

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διόρθωση του κώδικα LATEX για να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς μας.

#2

JimVerman έγραψε:Αν $x,y \ne 0 , x \ne \pm y$ και να δειχθεί ότι

Είναι $2|x| = |(x+y)+(x-y)|\le |x+y|+|x-y|=6$ , άρα $|x|\le 3$ . 'Ομοια $|y| \le 3$ . Επίσης δεν μπορεί συγχρόνως $x=\pm 3, \, y=\pm 3$ λόγω της υπόθεσης $x \ne \pm y$ . Οπότε $|xy|\le 3\cdot 3 =9$ και δεδομένου ότι δεν μπορεί |xy|=9

, τελικά είναι |xy|<9

, από όπου το ζητούμενο.

Μ.

JimVerman · #3

Σας ευχαριστώ πολύ, το ίδιο σκέφτηκα και εγώ.

Α.Κυριακόπουλος · #4

JimVerman έγραψε:Αν $x,y \ne 0 , x \ne \pm y$ και να δειχθεί ότι

Ο περιορισμός $xy \ne 0$ χρειάζεται:

#5

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Ο περιορισμός $xy \ne 0$ χρειάζεται:

Αντώνη, πολύ σωστά επισημαίνεις ότι ο περιορισμός $xy\ne 0$ δεν χρειάζεται.

Άλλωστε, αν κάποιος έκανε μία απόδειξη που τον χρησιμοποιούσε, στο τέλος η απάντηση -9 < xy <9

εμπεριέχει την περίπτωση xy=0

. Οπότε πάλι θα τον έδιωχνε.

Φιλικά,

Μιχάλης

JimVerman · #6

Νομίζω πως έχει τοποθετηθεί ο περιορισμός εκεί εξαρχής, όχι για το γινόμενο που θα προκύψει, αλλά για να μην βγει η δεδομένη εξίσωση αδύνατη. Βέβαια, σωστά αναφέρθηκε πως τελικά αποδεικνύουμε το αντίθετο χωρίς να χρησιμοποιούμε καν τον περιορισμό.

#7

JimVerman έγραψε:Νομίζω πως έχει τοποθετηθεί ο περιορισμός εκεί εξαρχής, όχι για το γινόμενο που θα προκύψει, αλλά για να μην βγει η δεδομένη εξίσωση αδύνατη. Βέβαια, σωστά αναφέρθηκε πως τελικά αποδεικνύουμε το αντίθετο χωρίς να χρησιμοποιύμε καν τον περιορισμό.

Επιτρέψτε μου να παρατηρήσω ότι τότε γιατί να μην τεθεί και ο περιορισμός $x \ne 5, y \ne 8$ κι όχι μόνο..., διότι και σ' αυτήν την περίπτωση η υπόθεση είναι ψευδής.

Αλλά όταν η υπόθεση είναι ψευδής το συμπέρασμα είναι πάντα αληθές.

Για την ωραία αυτή άσκηση του νέου φίλου μας Jim Verman, ας κρατήσουμε την εκφώνηση, δίχως τον περιορισμό $xy \ne 0$ , που είναι δυνατό να μάς ξεστρατίσει από το επίπεδο της Α΄ Λυκείου.

ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Μέλη σε σύνδεση