Παραγοντοποίηση

#1

Αν

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}$

να αποδείξετε ότι:

$a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}=(a+b+c)^{2011}$

Ιωάννου Δημήτρης

#2

Είναι:
$\displaystyle{ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 \Rightarrow a^3 + b^3 = (a + b + c)^3 - c^3 \Rightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) = (a + b)\left[ {(a + b + c)^2 + (a + b + c)c + c^2 } \right] }$
Συνεχίζοντας:
$\displaystyle{ (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) = (a + b)\left[ {a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + ac + bc +c^2 + c^2 } \right] }$
Για λίγο ακόμη:
$\displaystyle{ (a + b)[c^2 + (a + b)c + ab) = 0 \Rightarrow a = - b \vee c = - a \vee c = - b }$
Αν $\displaystyle{ a = - b }$ τότε

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a^{2011} + b^{2011} + c^{2011} = c^{2011} \\ (a + b + c)^{2011} = c^{2011} \\ \end{array} }$
αληθεύει η ζητούμενη ισότητα.
Αν $\displaystyle{ c = - a \vee c = - b }$ παρομοίως.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει.

#3

Λίγο διαφορετικά, το ζητούμενο προκύπτει άμεσα από την ταυτότητα

$\displaystyle{(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a).}$

Λόγω της συνθήκης, είναι $\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)=0.}$

κ.τ.λ.

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση