Δίκλαδη συνάρτηση

#1

Μία άσκηση απο το ''Όπερ έδει δείξαι''
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ με
$\displaystyle{ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}},x < \lambda } \\ {\frac{5}{{x + 2}},x \ge \lambda } \\ \end{array}} \right. }$ όπου λ ακέραιος

α)Να βρείτε τον $\displaystyle{ \lambda }$

β)Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{ f(x) > 0 }$

(*)Η άσκηση είναι δημοσιευμένη απο τον Παναγιώτη Μυταρέλλη.

Grigoris K. · #2

Επιτρέψτε μου να κάνω μία εικασία για την άσκηση καθώς δεν τα πάω πολύ καλά με τις συναρτήσεις ακόμη.

Παρατηρούμε ότι ο πρώτος κλάδος της συνάρτησης ορίζεται για $x \neq -1$ , ενώ ο δεύτερος για $x \neq -2$ . Άρα το λ θα είναι -1 ή -2 αλλά αν το λ είναι -2 έχουμε πρόβλημα στον δεύτερο κλάδο. Άρα καταλήγουμε ότι θα είναι -1. (καθώς έτσι ορίζονται και οι δύο κλάδοι)

Για $x \geq -1$ :
$f(x) > 0 \Rightarrow \frac{5}{x+2} > 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$ ,δηλαδή $x \geq -1$ αφού για αυτές τις τιμές του

ισχύει ο δεύτερος κλάδος.

Για x < -1

:
$f(x) > 0 \Rightarrow \frac{2x-1}{x+1} > 0$ Εδώ να παρατηρήσουμε ότι ο παρονομαστής είναι πάντα αρνητικός σύμφωνα με την συνθήκη x < -1

. Άρα πρέπει $2x - 1 < 0 \Rightarrow x <\frac{1}{2}$ , δηλαδή x < -1

Kαταλήγοντας f(x) > 0

ισχύει $\forall x \in R$

Υ.Γ. Διορθώθηκε λόγω επισύμανσης για παράληψη από τον κ.Χρήστο.

Δίκλαδη συνάρτηση

Δίκλαδη συνάρτηση

Re: Δίκλαδη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση