Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Συντονιστής: stranton

m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Απρ 23, 2011 4:33 pm

Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Γίνεται προσπάθεια ώστε κάθε μια από αυτές να καλύπτει όσο το δυνατό μεγαλύτερο εύρος ύλης.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.

Άσκηση 1

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \left( {\lambda  - 2} \right){x^2} - 2\left| {\rm{\lambda }} \right|{\rm{x}} + {\rm{\lambda }} + {\rm{2}}} με \displaystyle{\lambda  \in R - \left\{ 2 \right\}}.
Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \displaystyle{\lambda  \in R - \left\{ 2 \right\}}.
Β) Να βρεθούν οι τιμές του \lambda ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f(x)} με \displaystyle{\lambda  \in R - \left\{ 2 \right\}} να έχει ελάχιστο στο {x_o} = 2.
Γ) Αν \lambda  = 4
α) να λύσετε την ανίσωση \frac{{f\left( x \right)}}{{2x}} \le  - 8
β) να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x'x και y'y
γ) να λύσετε την εξίσωση \left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - 2
δ) να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από την ευθεία y = 6
ε) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής f\left( x \right) και το σημείο στο οποίο η f\left( x \right) τέμνει τον y'y


Μίλτος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Απρ 23, 2011 5:22 pm

A) Έχουμε:


\displaystyle{
\Delta  = \left( { - 2\left| \lambda  \right|} \right)^2  - 4\left( {\lambda  - 2} \right) \cdot \left( {\lambda  + 2} \right) = 4\lambda ^2  - 4\left( {\lambda ^2  - 4} \right) = 4\lambda ^2  - 4\lambda ^2  + 16 = 16 > 0
} για κάθε \displaystyle{
\lambda  \in R - \left\{ 2 \right\}
} οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Β)
Για να έχει η f ελάχιστο πρέπει

\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  \lambda  - 2 > 0 \\ 
  x_0  = x_{\min }  =  - \frac{\beta }
{{2\alpha }} =  - \frac{{ - 2\left| \lambda  \right|}}
{{2\left( {\lambda  - 2} \right)}} = 2 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \lambda  > 2 > 0 \\ 
  x_0  = x_{\min }  =  - \frac{\beta }
{{2\alpha }} =  - \frac{{ - 2\lambda }}
{{2\left( {\lambda  - 2} \right)}} = 2 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \lambda  > 2 > 0 \\ 
  \frac{\lambda }
{{\lambda  - 2}} = 2 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \lambda  > 2 > 0 \\ 
  \lambda  = 2\lambda  - 4 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \lambda  > 2 > 0 \\ 
  \boxed{\lambda  = 4} \\ 
\end{gathered}  \right.
}

Γ)

α) Για \displaystyle{
\lambda  = 4
} έχουμε: \displaystyle{
f\left( x \right) = 2x^2  - 8x + 6
} οπότε από την ανίσωση έχουμε:

\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{f\left( x \right)}}
{{2x}} \leqslant  - 8 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{2x^2  - 8x + 6}}
{{2x}} \leqslant  - 8 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{2\left( {x^2  - 4x + 3} \right)}}
{{2x}} \leqslant  - 8 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{x^2  - 4x + 3}}
{x} \leqslant  - 8 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{x^2  - 4x + 3}}
{x} + 8 \leqslant 0 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
}

\displaystyle{
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{x^2  - 4x + 3 + 8x}}
{x} \leqslant 0 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{x^2  + 4x + 3}}
{x} \leqslant 0 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \cdot \left( {x^2  + 4x + 3} \right) \leqslant 0 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \cdot \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) \leqslant 0 \hfill \\
  x \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  \ldots 
} \displaystyle{
\boxed{x \in \left( { - \infty , - 3} \right] \cup \left[ { - 1,0} \right)}
}


β) Για \displaystyle{
x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \boxed{C_f  \cap y'y = K\left( {0,6} \right)}
}

Για \displaystyle{
f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x^2  - 8x + 6 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x^2  - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x^2  - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow 
} \displaystyle{
\boxed{C_f  \cap x'x = \left\{ {A_1 \left( {1,0} \right),A_2 \left( {3,0} \right)} \right\}}
}

γ) Είναι

\displaystyle{
\left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - 2 \Leftrightarrow \left| {2x^2  - 8x + 6} \right| = 2x - 2 \Leftrightarrow 2 \cdot \left| {x^2  - 4x + 3} \right| = 2 \cdot \left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left| {x^2  - 4x + 3} \right| = x - 1 \Leftrightarrow 
}

\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  x^2  - 4x + 3 = x - 1 \hfill \\
  x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  v \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
   - x^2  + 4x - 3 = x - 1 \hfill \\
  x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  x^2  - 5x + 4 = 0 \hfill \\
  x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  v \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  x^2  - 3x + 2 = 0 \hfill \\
  x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  \boxed{x = 1,x = 4} \hfill \\
  x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  v \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  x = 1(\alpha \pi o\rho ),\boxed{x = 2} \hfill \\
  x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
}

δ) Πρέπει \displaystyle{
f\left( x \right) > 6 \Leftrightarrow 2x^2  - 8x + 6 > 6 \Leftrightarrow 2x^2  - 8x > 0 \Leftrightarrow 2x\left( {x - 4} \right) > 0 \Leftrightarrow \boxed{x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right)}
}

ε) Η κορυφή της παραβολής είναι \displaystyle{
{\rm M}\left( { - \frac{\beta }
{{2\alpha }},f\left( { - \frac{\beta }
{{2\alpha }}} \right)} \right) \to {\rm M}\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) \to \boxed{{\rm M}\left( {2, - 2} \right)}
}
και το σημείο που κόβει τον άξονα y’y είναι (όπως βρήκαμε) το \displaystyle{
K\left( {0,6} \right)
}

Είναι προφανές (με διαφορετικές τετμημένες) ότι η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι της μορφής: \displaystyle{
\left( \varepsilon  \right):y = ax + b:\left( 1 \right)
}

Με \displaystyle{
{\rm M}\left( {2, - 2} \right) \in \left( \varepsilon  \right) \Leftrightarrow 2a + b =  - 2:\left( 3 \right)
} και με \displaystyle{
K\left( {0,6} \right) \in \left( \varepsilon  \right) \Leftrightarrow b = 6:\left( 3 \right)
}

Το σύστημα των (2) και (3) δίνει (εύκολα) \displaystyle{
b = 6
} και \displaystyle{
a =  - 4
}
Άρα η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση \displaystyle{
\boxed{y =  - 4x + 6}
}


ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ

Φιλικά

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Απρ 23, 2011 8:44 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:A) Έχουμε:

πλήρης και αναλυτική λύση!

Ακολουθεί η άσκηση 2, η ιδέα της οποίας προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Απρ 23, 2011 8:50 pm

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{x - \frac{1}{x}}}{{{x^2} - 1}}}
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της
Β) Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι περιττή
Γ) Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
Δ) Να βρείτε (εφ΄ όσον υπάρχουν) τα σημεία όπου η {C_f} τέμνει τις ευθείες x = 0, x =  - 1 , x = 1 ή y = 0
Ε) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \ge 1}
Στ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right), O\left( {0,0} \right) , και \left( {2,f\left( 2 \right)} \right) είναι συνευθειακά.
Ζ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f

Μ.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Απρ 23, 2011 9:56 pm

A)
Περιορισμοί:


\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  x \ne 0 \\ 
  x^2  - 1 \ne 0 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \ne 0 \\ 
  x^2  \ne 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \ne 0 \\ 
  x \ne  \pm 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow A_f  = R - \left\{ { - 1,0,1} \right\} \Rightarrow \boxed{A_f  = \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}
}

και για \displaystyle{
x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x - \frac{1}
{x}}}
{{x^2  - 1}} = \frac{{\frac{{x^2  - 1}}
{x}}}
{{x^2  - 1}} = \frac{{x^2  - 1}}
{{x \cdot \left( {x^2  - 1} \right)}}\mathop  \Rightarrow \limits^{x \ne  \pm 1} \boxed{f\left( x \right) = \frac{1}
{x},x \in A_f }
}

όπου \displaystyle{
A_f 
} παριστάνει το πεδίο ορισμού της f

Β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν αν \displaystyle{
x \in A_f  \Rightarrow  - x \in A_f 
} και \displaystyle{
f\left( { - x} \right) = \frac{1}
{{ - x}} =  - \frac{1}
{x} =  - f\left( x \right)
} άρα η f είναι περιττή

Γ)
• Για κάθε \displaystyle{
x_1 ,x_2  \in \left( { - \infty , - 1} \right)
} με \displaystyle{
x_1  < x_2  <  - 1 < 0 \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\left( { - \infty , - 1} \right)
}.

• Ομοίως για κάθε \displaystyle{
x_1 ,x_2  \in \left( { - 1,0} \right)
} με \displaystyle{
x_1  < x_2  < 0 \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\left( { - 1,0} \right)
}

**Παρατήρηση: Αν \displaystyle{
x_1  <  - 1 < x_2  < 0 \Rightarrow 0 > \frac{1}
{{x_1 }} >  - 1 > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\boxed{\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)}
}

• για κάθε \displaystyle{
x_1 ,x_2  \in \left( {0,1} \right)
} με \displaystyle{
0 < x_1  < x_2  \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\left( {0,1} \right)
}.

• και τέλος για κάθε \displaystyle{
x_1 ,x_2  \in \left( {1, + \infty } \right)
} με \displaystyle{
0 < 1 < x_1  < x_2  \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\left( {1, + \infty } \right)
}

Παρατήρηση: Αν \displaystyle{
0 < x_1  < 1 < x_2  \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} > 1 > \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f
} τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\boxed{\left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}
}

*** Προσοχή!!! η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της αλλά κατά διαστήματα (στα \displaystyle{
\boxed{\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)}
} και \displaystyle{
\boxed{\left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}
}) αφού αν

\displaystyle{
x_1  < 0\mathop  < \limits^{ \ne 1} x_2  \Rightarrow \frac{1}
{{x_1 }} < 0 < \frac{1}
{{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) < f\left( {x_2 } \right)
}


Δ) Εφόσον \displaystyle{
 - 1,0,1 \in A_f 
} προφανώς η \displaystyle{
C_f 
} δεν τέμνει τις (κατακόρυφες) ευθείες με εξισώσεις \displaystyle{
x =  - 1,x = 0,x = 1
} αλλά και επειδή \displaystyle{
f\left( x \right) = \frac{1}
{x} \ne 0,\forall x \in A_f 
} η \displaystyle{
C_f 
} δεν τέμνει ούτε την (οριζόντια) ευθεία με εξίσωση \displaystyle{
y = 0
} (τον άξονα x'x)

Ε)

\displaystyle{
\left| {f\left( x \right)} \right| \geqslant 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left| {\frac{1}
{x}} \right| \geqslant 1 \\ 
  x \ne 0, \pm 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}
{{\left| x \right|}} \geqslant 1 \\ 
  x \ne 0, \pm 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left| x \right| \leqslant 1 \\ 
  x \ne 0, \pm 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
   - 1 \leqslant x \leqslant 1 \\ 
  x \ne 0, \pm 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
   - 1 < x < 1 \\ 
  x \ne 0 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \boxed{x \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right)}
}

ΣΤ) Έστω \displaystyle{
A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = \frac{1}
{x}} \boxed{A\left( { - 2, - \frac{1}
{2}} \right)}
} , \displaystyle{
B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = \frac{1}
{x}} \boxed{B\left( {2,\frac{1}
{2}} \right)}
} και \displaystyle{
\boxed{O\left( {0,0} \right)}
}

Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το \displaystyle{
O\left( {0,0} \right)
} και από το σημείο \displaystyle{
B\left( {2,\frac{1}
{2}} \right)
}.

Προφανώς η εξίσωση της (ε) (επειδή διέρχεται από το \displaystyle{
O\left( {0,0} \right)
} και δεν είναι παράλληλη στον y’y (τα Ο και Β έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι της μορφής \displaystyle{
\left( \varepsilon  \right):y = \lambda x:\left( 1 \right)
}

Επειδή \displaystyle{
B\left( {2,\frac{1}
{2}} \right) \in \left( \varepsilon  \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \frac{1}
{2} = 2\lambda  \Rightarrow \lambda  = \frac{1}
{4} \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon  \right):y = \frac{1}
{4}x}:\left( 2 \right)
}

Επειδή \displaystyle{
 - \frac{1}
{2} = \frac{1}
{4}\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}
{2} =  - \frac{1}
{2}
} οι συντεταγμένες και του Α επαληθεύουν την εξίσωση της \displaystyle{
\left( \varepsilon  \right) \leftrightarrow {\rm O}{\rm B}
} οπότε το σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά.

Z) Η γραφική της παράσταση στο συννημένο



ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ Η ΑΝΑΣΤΑΣΗ !!!

Φιλικά

Στάθης Κούτρας
Συνημμένα
1.png
1.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 8646 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από hlkampel » Σάβ Απρ 23, 2011 10:13 pm

Με πρόλαβε ο Στάθης.
Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η f είναι περιττή τα σημεία A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right) , B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) είναι συμμετρικά ως προς το O\left( {0,0} \right) , γιατί f\left( { - 2} \right) =  - f\left( 2 \right)
έτσι τα A,\;O,\;B είναι συνευθειακά.

Καλή Ανάσταση


Ηλίας Καμπελής
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Απρ 23, 2011 10:52 pm

hlkampel έγραψε:Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η f είναι περιττή τα σημεία A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right) , B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) είναι συμμετρικά ως προς το O\left( {0,0} \right) , γιατί f\left( { - 2} \right) =  - f\left( 2 \right)
έτσι τα A,\;O,\;B είναι συνευθειακά.

Καλή Ανάσταση

Με τον τρόπο αυτό, μάλιστα, αποδεικνύουμε ότι το Ο είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α και Β, κάτι που θα μπορούσε να ζητείται να αποδειχτεί.


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Απρ 24, 2011 10:37 pm

Άσκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = \lambda {x^2} - 2\left( {\lambda  + 2} \right)x + 8 με .\lambda  \in R
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του \lambda η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα y'y σε σταθερό σημείο A
Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του \lambda η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον άξονα x'x, με σταθερή τετμημένη
Γ) Να βρείτε τις τιμές του \lambda για τις οποίες τη εξίσωση f\left( x \right) = 0 έχει δύο ομόσημες ρίζες
Δ) Να βρείτε τις τιμές του \lambda για τις οποίες η γραφική παράσταση της f, εφάπτεται στην ευθεία y = 0
Ε) Έστω \lambda  \in R - \left\{ {0,2} \right\} και B,\,\,\Gamma είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, με τον x'x τότε:
α) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου AB\Gamma είναι {\rm E} = \frac{{8\left| {\lambda  - 2} \right|}}{{\left| \lambda  \right|}}
β) να βρείτε τις τιμές του \lambda για τις οποίες είναι {\rm E} = 24
Στ) Αν \lambda  = 2 , να κάνετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της f

Μ.

Από άσκηση του Ευκλείδη Β τ 76


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 24, 2011 11:33 pm

Α) Είναι \displaystyle{
f\left( 0 \right) = 8 \Rightarrow C_f  \cap y'y = \boxed{A\left( {0,8} \right) = ct}
}

Β) Είναι \displaystyle{
\Delta  = \left[ { - 2\left( {\lambda  + 2} \right)} \right]^2  - 32\lambda  = 4\left( {\lambda  + 2} \right)^2  - 32\lambda  = 4\left[ {\left( {\lambda  + 2} \right)^2  - 8\lambda } \right] \Rightarrow  \ldots \boxed{\Delta  = 4\left( {\lambda  - 2} \right)^2  \geqslant 0,\forall \lambda  \in R}
}

Οπότε η εξίσωση \displaystyle{
f\left( x \right) = 0
} θα έχει ρίζες τις

\displaystyle{
x_1 ,x_2  = \frac{{2\left( {\lambda  + 2} \right) \pm \sqrt {4\left( {\lambda  - 2} \right)^2 } }}
{{2\lambda }} = \frac{{2\left( {\lambda  + 2} \right) \pm 2\left( {\lambda  - 2} \right)}}
{{2\lambda }} \Rightarrow 
} \displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  x_1  = \frac{{2\left( {\lambda  + 2} \right) - 2\left( {\lambda  - 2} \right)}}
{{2\lambda }} \hfill \\
  x_2  = \frac{{2\left( {\lambda  + 2} \right) + 2\left( {\lambda  - 2} \right)}}
{{2\lambda }} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x_1  = \frac{4}
{\lambda } \hfill \\
  x_2  = 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{C_f  \cap x'x = \left\{ {{\rm B}\left( {2,0} \right),\Gamma \left( {\frac{4}
{\lambda },0} \right)} \right\}}
}
οπότε άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με σταθερή τετμημένη 4

Γ) Για να έχει η εξίσωση \displaystyle{
f\left( x \right) = 0
} ρίζες ομόσημες πρέπει \displaystyle{
\frac{\gamma }
{\alpha } > 0 \to \frac{8}
{\lambda } > 0 \Rightarrow \boxed{\lambda  > 0}
}

Δ) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον άξονα x’x πρέπει και αρκεί : \displaystyle{
\Delta  = 0 \Leftrightarrow 4\left( {\lambda  - 2} \right)^2  = 0 \Leftrightarrow \boxed{\lambda  = 2}
}

Ε)
α) Είναι \displaystyle{
\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}
{2}\left( {{\rm O}{\rm A}} \right) \cdot \left( {{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}
{2} \cdot 8 \cdot \left| {x_2  - x_1 } \right| = 4 \cdot \left| {2 - \frac{4}
{\lambda }} \right| = 4 \cdot \left| {\frac{{2\lambda  - 4}}
{\lambda }} \right| \Rightarrow  \ldots \boxed{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = 8 \cdot \frac{{\left| {\lambda  - 2} \right|}}
{{\left| \lambda  \right|}}}
}


β) Αν είναι

\displaystyle{
{\rm E} = 24 \Leftrightarrow 8 \cdot \frac{{\left| {\lambda  - 2} \right|}}
{{\left| \lambda  \right|}} = 24 \Leftrightarrow \frac{{\left| {\lambda  - 2} \right|}}
{{\left| \lambda  \right|}} = 3 \Leftrightarrow \left| {\lambda  - 2} \right| = \left| {3\lambda } \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \lambda  - 2 = 3\lambda  \hfill \\
  \lambda  - 2 =  - 3\lambda  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered}
  \lambda  =  - 1 \hfill \\
  \lambda  = \frac{1}
{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.}
}

γ) Για λ=2 έχουμε:\displaystyle{
f\left( x \right) = 2x^2  - 6x + 8
} με \displaystyle{
 - \frac{\beta }
{{2\alpha }} = \frac{6}
{4} = \frac{3}
{2}
} οπότε με \displaystyle{
\lambda  > 0
} έχουμε:

• Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \displaystyle{
\left( { - \infty ,\frac{3}
{2}} \right]
} και

• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \displaystyle{
\left[ {\frac{3}
{2}, + \infty } \right)
}


• Έχει ελάχιστο στο \displaystyle{
x_0  = \frac{3}
{2}
} το \displaystyle{
f\left( {\frac{3}
{2}} \right) =  \ldots \frac{7}
{2}
}


Στάθης Κούτρας
και χρόνια πολλά
Συνημμένα
Πίνακας μονοτονίας.png
Πίνακας μονοτονίας.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 8475 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από m.pαpαgrigorakis » Δευ Απρ 25, 2011 1:59 pm

Άσκηση 4

Δίνεται η συνάρτηση : \displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {1 - x} & {\alpha \nu } & {x < 0}  \\
   {x + 6\lambda  - {\lambda ^2}} & {\alpha \nu } & {x \ge 0}  \\
\end{array}} \right.} με \lambda  \in R
Α) Να βρεθούν οι τιμές του \lambda ώστε \displaystyle{f(0) = f\left( { - 8} \right)}
Β) Αν \lambda  = 3 τότε:
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \sqrt {3\sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}}}
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων \left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right) και \left( {0,f\left( 0 \right)} \right)
γ) Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της f, τέμνει τους άξονες x'x και y'y
δ) Να λύσετε την ανίσωση f\left( x \right) \le 9
ε) Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της
στ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f

Μίλτος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 25, 2011 2:33 pm

A) \displaystyle{
f\left( 0 \right) = f\left( { - 8} \right) \Leftrightarrow 6\lambda  - \lambda ^2  = 9 \Leftrightarrow \lambda ^2  - 6\lambda  + 9 = 0 \Leftrightarrow \left( {\lambda  - 3} \right)^2  = 0 \Leftrightarrow \lambda  - 3 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\lambda  = 3}
}


B) Για \displaystyle{
\lambda  = 3
} έχουμε: \displaystyle{
f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  1 - x,x < 0 \hfill \\
  x + 9,x \geqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
}

οπότε
α) \displaystyle{
f\left( {18} \right) = 18 + 9 = 27 \Rightarrow \sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}} = \sqrt[3]{{27}} = 3 \Rightarrow \sqrt {3 \cdot \sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}}}  = \sqrt 9  = 3
}

β) Αν \displaystyle{
A\left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right) \to A\left( { - 3,4} \right)
} και \displaystyle{
B\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) \to B\left( {0,9} \right)
} θα είναι \displaystyle{
\left( {AB} \right) = \sqrt {\left( { - 3 - 0} \right)^2  + \left( {9 - 4} \right)^2 }  \Rightarrow  \ldots \boxed{\left( {AB} \right) = \sqrt {34} }
}

γ) Έχουμε: \displaystyle{
f\left( 0 \right) = 9 \Rightarrow \boxed{C_f  \cap y'y = K\left( {0,9} \right)}
} και

\displaystyle{
f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  1 - x = 0,x < 0 \hfill \\
  x + 9 = 0,x \geqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = 1 > 0(\alpha \pi o\rho \rho ),x < 0 \hfill \\
  x =  - 9 < 0 < (\alpha \pi o\rho \rho ),x \geqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
} δηλαδή η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x’x

δ) έχουμε: \displaystyle{
f\left( x \right) \leqslant 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  1 - x \leqslant 9 \hfill \\
  x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  v \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  x + 9 \leqslant 9 \hfill \\
  x \geqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  x \geqslant  - 8 \hfill \\
  x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  v \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  x \leqslant 0 \hfill \\
  x \geqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \in \left[ { - 8,0} \right) \hfill \\
  v \hfill \\
  x = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \boxed{x \in \left[ { - 8,0} \right]}
}

ε) Για \displaystyle{
x < 0
} επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης -1 η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{
\left( { - \infty ,0} \right)
}

Για \displaystyle{
x \geqslant 0
} επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης 1 η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{
\left[ {0, + \infty } \right)
}

στ) Στο συννημένο




Φιλικά

Στάθης Κούτρας
Συνημμένα
Γραφική παράσταση.png
Γραφική παράσταση.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 8402 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Απρ 25, 2011 4:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Απρ 25, 2011 3:46 pm

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 4


β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων \left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right) και \left( {0,f\left( 0 \right)} \right)


Μίλτος

Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από chris_gatos » Δευ Απρ 25, 2011 3:51 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.


Χρήστος Κυριαζής
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από m.pαpαgrigorakis » Δευ Απρ 25, 2011 4:42 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;


Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"

Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.

Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.

Από εδώ θέλω να ευχαριστήσω το Στάθη Κούτρα για τις υποδειγματικές λύσεις που δίνει.

Ευχαριστώ το Χρήστο για την απάντησή του.

Τέλος να πω ότι οποιαδήποτε παρατήρηση ή συμπλήρωση των ερωτημάτων των ασκήσεων είναι αποδεκτή.

Μίλτος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 25, 2011 5:30 pm

Μίλτο, καλησπέρα

Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις

Νά είσαι πάντα γερός

Φιλικά

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από m.pαpαgrigorakis » Δευ Απρ 25, 2011 8:45 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Μίλτο, καλησπέρα

Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις

Νά είσαι πάντα γερός

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Ευχαριστώ Στάθη, να είσαι και συ πάντα καλά
Μίλτος


Και επόμενη άσκηση (τα τρία πρώτα ερωτήματα) προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ.


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από m.pαpαgrigorakis » Δευ Απρ 25, 2011 9:04 pm

Άσκηση 5

Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {\lambda  + 1} \right)x + \left( {{\kappa ^2} - 2\kappa } \right) με x \in Rκαι \kappa ,{\rm{ }}\lambda  \in R. Γνωρίζουμε ότι για x = 1 η f έχει ελάχιστο το - 3.
Α) Να βρείτε τα \kappa και \lambda
Β) Αν \kappa  = 1 και \lambda  = 3 τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση \left| {f\left( x \right) - 2{x^2}} \right| = 2{x^2} - f\left( x \right)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - f\left( x \right) + 4}
γ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f
δ) Να αποδείξετε ότι f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right)
ε) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνει τους άξονες
στ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής f\left( x \right) και το σημείο που η γραφική παράσταση της g τέμνει το θετικό ημιάξονα Ox

Μ.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3676
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 25, 2011 9:55 pm

Μίλτο εδώ είμαι ακόμα...

Α) Είναι


\displaystyle{
x_{\min }  =  - \frac{\beta }
{{2\alpha }} \to x_{\min }  = \frac{{\lambda  + 1}}
{4}\mathop  \Rightarrow \limits^{x_{\min }  = 1} \frac{{\lambda  + 1}}
{4} = 1 \Rightarrow  \ldots \boxed{\lambda  = 3}
}
και

\displaystyle{
\min f = f\left( {x_{\min } } \right) = f\left( 1 \right)\mathop  = \limits^{\lambda  = 3}  \ldots \kappa ^2  - 2\kappa  - 2\mathop  \Rightarrow \limits^{\min f =  - 3} \kappa ^2  - 2\kappa  - 2 =  - 3
}\displaystyle{
 \Rightarrow \kappa ^2  - 2\kappa  + 1 = 0 \Rightarrow \left( {\kappa  - 1} \right)^2  = 0 \Rightarrow  \ldots \boxed{\kappa  = 1}
}

Β) α) Για \displaystyle{
\kappa  = 1,\lambda  = 3 \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = 2x^2  - 4x - 1}
} οπότε για την ανίσωση έχουμε:

\displaystyle{
\left| {f\left( x \right) - 2x^2 } \right| = 2x^2  - f\left( x \right) =  - \left( {f\left( x \right) - 2x^2 } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - 2x^2  \leqslant 0
}\displaystyle{
\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = 2x^2  - 4x - 1}  \ldots  - 4x - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow  \ldots \boxed{x \geqslant  - \frac{1}
{4}}
}

β) Είναι \displaystyle{
g\left( x \right) = \sqrt {x^2  - \left( {2x^2  - 4x - 1} \right) + 4}  \Rightarrow  \ldots g\left( x \right) = \sqrt { - x^2  + 4x + 5} 
}

Για να ορίζεται η g πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικός αριθμός δηλαδή

\displaystyle{
 - x^2  + 4x + 5 \geqslant 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ - x^2  + 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1,x = 5} \boxed{x \in \left[ { - 1,5} \right]}
}

γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \displaystyle{
\left( { - \infty , - \frac{\beta }
{{2\alpha }}} \right] \to \boxed{\left( { - \infty ,1} \right]}
} και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \displaystyle{
\left[ { - \frac{\beta }
{{2\alpha }}, + \infty } \right) \to \boxed{\left[ {1, + \infty } \right)}
}

δ) Είναι

\displaystyle{
f\left( x \right) = 2x^2  - 4x - 1 = 2x^2  - 4x + 2 - 3 = 2\left( {x - 1} \right)^2  - 3 \Rightarrow 
}\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  f\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x - 1} \right)^2  - 3 = 2\left( { - x} \right)^2  - 3 = 2x^2  - 3 \hfill \\
  f\left( {1 + x} \right) = 2\left( {1 + x - 1} \right)^2  - 3 = 2x^2  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right) = 2x^2  - 3}
}

ε) Είναι \displaystyle{
g\left( 0 \right) =  \ldots \sqrt 5  \Rightarrow C_g  \cap y'y = \boxed{K\left( {0,\sqrt 5 } \right)}
}

Και

\displaystyle{
g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \sqrt { - x^2  + 4x + 5}  = 0 \hfill \\
   - 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
   - x^2  + 4x + 5 = 0 \hfill \\
   - 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x =  - 1,x = 5 \Rightarrow 
}\displaystyle{
\boxed{C_g  \cap x'x = \left\{ {\Lambda \left( { - 1,0} \right),{\rm M}\left( {5,0} \right)} \right\}}
}

στ) Η κορυφή της παραβολής είναι \displaystyle{
{\rm N}\left( {1, - 3} \right)
}

Άρα ζητάμε φανερά την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ν και Μ
Είναι προφανώς της μορφής \displaystyle{
\left( \varepsilon  \right):y = ax + b:\left( 1 \right)
} (λόγω διαφορετικών τετμημένων των σημείων Μ και Ν)

Έχουμε:

\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
  {\rm N}\left( {1, - 3} \right) \in \left( \varepsilon  \right) \hfill \\
  {\rm M}\left( {5,0} \right) \in \left( \varepsilon  \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  a + b =  - 3 \hfill \\
  5a + b = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left(  -  \right)} \left\{ \begin{gathered}
  a + b =  - 3 \hfill \\
  4a = 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  \ldots \left\{ \begin{gathered}
  b =  - \frac{{15}}
{4} \hfill \\
  a = \frac{3}
{4} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon  \right):y = \frac{3}
{4}x - \frac{{15}}
{4}}
}



Πάντα φιλικά

Στάθης Κούτρας


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από pana1333 » Δευ Απρ 25, 2011 10:08 pm

Αν και με πρόλαβε για λίγο ο Στάθης και οι πράξεις είναι σύντομες....την δίνω για τον κόπο....

Α) Αφού η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=1 το -3 είναι f(1)=-3.
Η συνάρτηση f\left(x \right)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma παρουσιάζει ακρότατο στη θέση -\frac{\beta }{2\alpha } το -\frac{\Delta }{4\alpha }. Άρα \frac{\lambda +1}{4}=1\Rightarrow \lambda =3 και -2+\kappa ^{2}-2\kappa =-3\Rightarrow \left(\kappa -1 \right)^{2}=0\Rightarrow \kappa =1.

Β)α) Για κ=1 και λ=-3 είναι f\left(x \right)=2x^{2}-4x-1. Επομένως \left|f\left(x \right)-2x^{2} \right|=2x^{2}-f\left(x \right)\Rightarrow \left|4x+1 \right|=4x+1 το οποίο ισχύει για x\geq \frac{-1}{4}.

β) Είναι g\left(x \right)=\sqrt{-x^{2}+4x+5}. Πρέπει -x^{2}+4x+5\geq 0\Rightarrow x\epsilon \left[-1,5 \right].

γ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\propto ,1] και γνησίως αύξουσα στο [1 ,+\propto)
και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το \left(1,-3 \right)

δ)Είναι f\left(x+1 \right)=f\left(1-x \right)=2x^{2}-3

ε) Για x=0 είναι g\left(0 \right)=\sqrt{5}. Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης g τέμνει τον άξονα των y στο σημείο \left(0,\sqrt{5} \right)

Για y=0 είναι \sqrt{-x^{2}+4x+5}=0\Rightarrow -x^{2}+4x+5}=0\Rightarrow x=-1 ή x=5. Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης g τέμνει τον άξονα των x στα σημεία \left(-1,0 \right),\left(5,0 \right)

στ) Έστω y=αx+β η ζητούμενη ευθεία. Τα σημεία Α(1,-3) και Β(5,0) ανήκουν στην ευθεία οπότε επαληθεύουν την εξίσωση της. Λύνοντας το σύστημα \begin{Bmatrix}
\alpha +\beta =-3 & \\ 5\alpha +\beta =0
 & 
\end{Bmatrix} προκύπτουν \alpha =\frac{3}{4},  \beta =\frac{-15}{4}


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Απρ 26, 2011 1:35 am

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"

Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.

Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.


Αρχικά Μίλτο πρέπει να ομολογήσω ότι κάνεις μια αξιέπαινη προσπάθεια στην Α΄ Λυκείου, όπως αξιοσημείωτο είναι και το ενδιαφέρον που δείχνει ο Στάθης με τις όμορφες λύσεις που μας παρουσιάζει.

Νομίζω ότι έχετε υποχρέωση να τα μαζέψετε και να τα κάνετε ένα όμορφο φυλλαδιάκι!!

Ένσταση! Μιας που κάνεις τον κόπο (ή κάνετε), γιατί δεν θέτεις ασκήσεις εντός της ύλης, να φανούν χρήσιμες σε όλους αλλά και στον υιό σου;;

Όλοι μας έχουμε σημειώσεις - ασκήσεις από την παλιά ύλη - βιβλίο, άρα θα ήταν ωφέλιμο να φρεσκάρουμε τα αρχεία μας με νέα σύγχρονα θέματα προσαρμοσμένα στο νέο βιβλίο, στην νέα ύλη και να μην αναπαράγουμε παλιές ασκήσεις, τι λες;;


Δίνω μια άσκηση με αυτό το σκεπτικό!!

Άσκηση 6η
Δίνεται το τριώνυμο\displaystyle{
f\left( x \right) = 2x^2  - 2\left( {\lambda  - 5} \right)x - \left( {\lambda  - 5} \right)
}, όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με: Δ = 4(λ – 5)(λ – 3).
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
γ. Αν x_1, x_2 είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε το λ αν ισχύει:
\displaystyle{x_1^2 + x_2^2} = 0,75
δ. Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} ώστε \displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right)} για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Σημείωση: Αν θέλουμε να το ψειρίσουμε και το γ υποερώτημα είναι εκτός του πνεύματος του νέου βιβλίου...

edit: διόρθωση του Latex
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Τρί Απρ 26, 2011 7:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης