Πολλές ρίζες

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+4}+\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-4}$

Ιστοσελίδα · #2

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $x\in [0,+\infty )-\{-1,1,16\}.$

Ισοδύναμα έχουμε:
$\dfrac{x^2+1-2}{x^2+1} + \dfrac{x^2-1+2}{x^2-1} = \dfrac{\sqrt{x}+4-8}{\sqrt{x}+4} + \dfrac{\sqrt{x}-4+8}{\sqrt{x}-4} \Leftrightarrow$

$1+\dfrac{-2}{x^2+1} + 1+\dfrac{2}{x^2-1} = 1+\dfrac{-8}{\sqrt{x}+4} +1+ \dfrac{8}{\sqrt{x}-4} \Leftrightarrow$

$\dfrac{1}{x^2-1} - \dfrac{1}{x^2+1} = \dfrac{4}{\sqrt{x}-4} - \dfrac{4}{\sqrt{x}+4} \Leftrightarrow$

$\dfrac{2}{x^4-1} = \dfrac{32}{x-16} \Leftrightarrow$

$x(16x^3-1) = 0 \Leftrightarrow$

x =0

ή $x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}} = \dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}$

Ιστοσελίδα · #3

Διαφορετικά μπορούμε να την λύσουμε αν θέσουμε $a=\dfrac{x^2-1}{x^2+1} \; , \; b=\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+4}$

Τότε η εξίσωση γράφεται:
$a+\dfrac{1}{a}=b+\dfrac{1}{b} \Leftrightarrow (a-b)(ab-1)=0 \Leftrightarrow a=b$ ή ab=1.

$\bullet$ Αν a=b

ισοδύναμα παίρνουμε $4x^2=\sqrt{x} \Leftrightarrow x(16x^3-1)=0 \Leftrightarrow x=0$ ή $x=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}.$

$\bullet$ Αν ab=1

ισοδύναμα παίρνουμε $4x^2+\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}(4x\sqrt{x}+1)=0 \Leftrightarrow x=0.$

Πολλές ρίζες

Πολλές ρίζες

Re: Πολλές ρίζες

Re: Πολλές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση