Κοινή ρίζα εξισώσεων

Ιστοσελίδα · #1

Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός $\lambda,$ ώστε οι εξισώσεις:

$(\lambda -1)x^2 - (2\lambda +1)x + 2 = 0$

$(\lambda +1)x^2 - (4\lambda -1)x - 2 = 0$

να έχουν μία κοινή ρίζα. Να βρείτε την κοινή ρίζα.

Ιστοσελίδα · #2

Μετά το σχετικό ...κατσάδιασμα του δάσκαλου (καλά μου έκανε

) αναδιατυπώνω την λύση της άσκησης

Έστω $\displaystyle{ \rho \ne 0 }$ η κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων (η τιμή $\displaystyle{ \rho = 0 }$ δεν επαληθεύει καμία εξίσωση) τότε ισχύουν:

$\displaystyle{ (\lambda - 1)\rho ^2 - (2\lambda + 1)\rho + 2 = 0 }$
$\displaystyle{ (\lambda + 1)\rho ^2 -(4\lambda - 1)\rho - 2 = 0 }$

όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{ \rho ^2 (\lambda - 1 + \lambda + 1) - (2\lambda + 1 + 4\lambda - 1)\rho = 0 }$
$\displaystyle{ 2\lambda \rho ^2 - 6\lambda \rho = 0 }$
$\displaystyle{ 2\lambda \rho (\rho - 3) = 0 }$

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι $\displaystyle{ \lambda = 0 }$ ή $\displaystyle{ \rho = 3 }$

Για $\displaystyle{ \rho = 3 }$ με αντικατάσταση σε μια από τις αρχικές εξισώσεις προκύπτει $\displaystyle{ \lambda = \frac{{10}}{3} }$

Αντίστροφα
Για $\displaystyle{ \lambda = 0 }$ οι δύο εξισώσεις γράφονται $\displaystyle{ x^2 + x - 2 = 0 }$ που έχουν δύο κοινές ρίζες (άρα και μια ) τις 1 και -2

Για $\displaystyle{ \lambda = \frac{{10}}{3} }$ οι παραπάνω εξισώσεις γράφονται

$\displaystyle{ 7x^2 - 23x + 6 = 0 }$
$\displaystyle{ 13x^2 - 37x - 6 = 0 }$
που έχουν κοινή ρίζα την $\displaystyle{ x = 3 }$

Άρα για $\displaystyle{ \lambda = 0 }$ και $\displaystyle{ \lambda = \frac{{10}}{3} }$ οι εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα.

ΣΧΟΛΙΟ
Μήπως θα μπορούσαμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα στην εκφώνηση ώστε να προκύψει κατάλληλη άσκηση για τις τελικές εξετάσεις;

Α.Κυριακόπουλος · #3

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Αν $\displaystyle{ \lambda = 0 }$ και οι δύο εξισώσεις γράφονται:
$\displaystyle{ x^2 + x - 2 = 0 }$
και αυτές έχουν δύο κοινές ρίζες, επομένως είναι $\displaystyle{ \lambda \ne 0 }$

Έστω $\displaystyle{ \rho \ne 0 }$ η κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων (η τιμή $\displaystyle{ \rho = 0 }$ δεν επαληθεύει καμία εξίσωση) τότε ισχύουν:

$\displaystyle{ (\lambda - 1)\rho ^2 - (2\lambda + 1)\rho + 2 = 0 }$
$\displaystyle{ (\lambda + 1)\rho ^2 -(4\lambda - 1)\rho - 2 = 0 }$

όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{ \rho ^2 (\lambda - 1 + \lambda + 1) - (2\lambda + 1 + 4\lambda - 1)\rho = 0 }$
$\displaystyle{ 2\lambda \rho ^2 - 6\lambda \rho = 0 }$
$\displaystyle{ 2\lambda \rho (\rho - 3) = 0 }$
αφού $\displaystyle{ \lambda \ne 0 }$ και $\displaystyle{ \rho \ne 0 }$ , τότε η κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων είναι $\displaystyle{ \rho = 3 }$
ΣΧΟΛΙΟ
Μήπως θα μπορούσαμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα στην εκφώνηση ώστε να προκύψει κατάλληλη άσκηση για τις τελικές εξετάσεις;

Σπύρο.
• Αν δύο εξισώσεις έχουν δύο κοινές ρίζες, τότε δεν θα έχουν και μια κοινή; ( η εκφώνηση δεν λέει να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα).
• Ποιες είναι οι τιμές του λ που βρήκες; Από αυτά που γράφεις φαίνεται να εννοείς ότι κάθε αριθμός $\lambda \ne 0$ είναι ζητούμενος. Είναι σωστό αυτό; Εξέτασες αν ισχύει το αντίστροφο; ( αφού δεν χρησιμοποιείς ισοδυναμίες;). Εξέτασες αν για τις τιμές αυτές του λ οι εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες; ( μην ξεχνάς ότι απευθυνόμαστε σε μαθητές της Α΄ τάξεις του Λυκείου).
Φιλικά.

Grigoris K. · #4

Η προσέγγισή μου είναι παρόμοια με αυτή του κύριου Σπύρου, ωστόσο υπάρχουν κάποιες διαφορές ( βρίσκω λ = 10/3 )

Έστω r η κοινή ρίζα. Η δύο εξ. μετά τις πράξεις γίνονται:

$\lambda r^2 - r^2 -2\lambda r - r + 2 = 0$ (1) και $\lambda r^2 + r^2 - 4\lambda r + r - 2 = 0$ (2)

Από (1), (2) προκύπτει $\lambda r^2 - 3\lambda r = 0 \rightarrow \Delta = 9\lambda^2$ άρα $r = \frac{3\lambda \pm 3\lambda}{2\lambda} \Rightarrow r_1 = 0 , r_2 = 3.$ Η r_1

δεν επαληθεύει τις αρχικές εξ. άρα η r_2

είναι η κοινή.

Αντικαθιστώντας τώρα στις αρχικές εξ. το r_2

λαμβάνουμε: $3\lambda - 10 = 0$ (1) και $-3\lambda + 10 = 0$ και από εδώ προκύπτει ότι $\lambda = \frac{10}{3}$ (το οποίο άμα αντικατασταθεί στις δύο αρχικές προκύπτουν όντως δύο εξ. με κοινή ρίζα, το 3)

Grigoris K. · #5

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Αν δύο εξισώσεις έχουν δύο κοινές ρίζες, τότε δεν θα έχουν και μια κοινή; ( η εκφώνηση δεν λέει να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα).

Κύριε Αντώνη η παρατήρησή σας είναι εύστοχη. Ωστόσο θεωρώ πως όταν η άσκηση λέει

Να βρείτε την κοινή ρίζα

μας βγάζει από την δύσκολη θέση και μας ξεκαθαρίζει ότι έχουν μόνο μία κοινή ρίζα καθώς το "την" είναι οριστικό άρθρο και υποδηλώνει μοναδικότητα.

Ιστοσελίδα · #6

Έχεις απόλυτο δίκιο δάσκαλε
θα επανορθώσω

Α.Κυριακόπουλος · #7

Grigoris K. έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Αν δύο εξισώσεις έχουν δύο κοινές ρίζες, τότε δεν θα έχουν και μια κοινή; ( η εκφώνηση δεν λέει να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα).
Κύριε Αντώνη η παρατήρησή σας είναι εύστοχη. Ωστόσο θεωρώ πως όταν η άσκηση λέει
Να βρείτε την κοινή ρίζα
μας βγάζει από την δύσκολη θέση και μας ξεκαθαρίζει ότι έχουν μόνο μία κοινή ρίζα καθώς το "την" είναι οριστικό άρθρο και υποδηλώνει μοναδικότητα.

Αγαπητέ Grigoris K.
Επειδή η άσκηση στο τέλος λέει: « Να βρείτε την κοινή ρίζα», δεν σημαίνει ότι στην αρχή εννοεί: « Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμούς λ, ώστε οι δοσμένες εξισώσεις να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα». Στα μαθηματικά όταν λέμε: « μια» εννοούμε: « τουλάχιστον μία» και όχι: « ακριβώς μια».
Φιλικά.

Grigoris K. · #8

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Grigoris K. έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Αν δύο εξισώσεις έχουν δύο κοινές ρίζες, τότε δεν θα έχουν και μια κοινή; ( η εκφώνηση δεν λέει να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα).
Κύριε Αντώνη η παρατήρησή σας είναι εύστοχη. Ωστόσο θεωρώ πως όταν η άσκηση λέει
Να βρείτε την κοινή ρίζα
μας βγάζει από την δύσκολη θέση και μας ξεκαθαρίζει ότι έχουν μόνο μία κοινή ρίζα καθώς το "την" είναι οριστικό άρθρο και υποδηλώνει μοναδικότητα.
Αγαπητέ Grigoris K.
Επειδή η άσκηση στο τέλος λέει: « Να βρείτε την κοινή ρίζα», δεν σημαίνει ότι στην αρχή εννοεί: « Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμούς λ, ώστε οι δοσμένες εξισώσεις να έχουν μία ακριβώς κοινή ρίζα». Στα μαθηματικά όταν λέμε: « μια» εννοούμε: « τουλάχιστον μία» και όχι: « ακριβώς μια».
Φιλικά.

Κύριε Αντώνη, έχετε δίκιο. Όμως θέλω να εκφράσω την δυσαρέσκεια μου για τις ασαφείς και αμφιλεγόμενες εκφωνίσεις ασκήσεων που υπάρχουν και ακόμη χειρότερα που τίθενται και σε επίσημες εξετάσεις.

Α.Κυριακόπουλος · #9

stranton έγραψε:Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός $\lambda,$ ώστε οι εξισώσεις:

$(\lambda -1)x^2 - (2\lambda +1)x + 2 = 0$

$(\lambda +1)x^2 - (4\lambda -1)x - 2 = 0$

να έχουν μία κοινή ρίζα. Να βρείτε την κοινή ρίζα.

ΛΥΣΗ.
Όπως βρίσκουμε εύκολα, αν λ=1 ή $\lambda = - 1$ οι δοσμένες αξιώσεις δεν έχουν καμία κοινή ρίζα.
Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι: $\lambda \ne 1$ και $\lambda \ne - 1$ . Έτσι, και οι δύο εξισώσεις είναι δευτέρου βαθμού. Η διακρίνουσα της πρώτης εξίσωσης είναι: ${(2\lambda + 1)^2} - 8(\lambda - 1) = 4{\lambda ^2} - 4\lambda + 9 > 0$ , για κάθε $\lambda \in R$ ( γιατί;). Η διακρίνουσα της δεύτερης εξίσωσης είναι: ${(4\lambda - 1)^2} + 8(\lambda + 1) = 16{\lambda ^2} + 9 > 0$ , για κάθε $\lambda \in R$ . Συνεπώς και οι δύο εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες, για κάθε $\lambda \in R$ . Ονομάζουμε f(x) το πρώτο μέλος της πρώτης εξίσωσης και ${x_1}$ και ${x_2}$ τις ( πραγματικές) ρίζες της δεύτερης εξίσωσης, οπότε:
${x_1} + {x_2} = \frac{{4\lambda - 1}}{{\lambda + 1}}$ και ${x_1}{x_2} = - \frac{2}{{\lambda + 1}}$ . (1)
Οι δοσμένες εξισώσεις έχουν μια κοινή ρίζα αν, και μόνο αν:

$\begin{array}{l} \left[ {f({x_1}) = 0\dot \eta f({x_2}) = 0} \right] \Leftrightarrow f({x_1}) \cdot f({x_2}) = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \end{array}$
$\Leftrightarrow \left[ {(\lambda - 1)x_1^2 - (2\lambda + 1){x_1} + 2} \right] \cdot \left[ {(\lambda - 1)x_2^2 - (2\lambda + 1){x_2} + 2} \right] = 0$ (2).
Μετά τις πράξεις κτλ., λαμβάνοντας υπόψη και τις σχέσεις (1), βρίσκουμε ότι:
$(2) \Leftrightarrow {\lambda ^2}(3\lambda - 1) = 0 \Leftrightarrow \left( {\lambda = 0\dot \eta \lambda = \frac{{10}}{3}} \right)$ .
Άρα, οι ζητούμενοι αριθμοί λ είναι: λ=0 και $\lambda = \frac{{10}}{3}$ . Βρίσκουμε εύκολα ότι :
• Αν λ=0, τότε έχουν και τις δύο ρίζες τους κοινές, που είναι οι αριθμοί: 1 και

.
• Αν $\lambda = \frac{{10}}{3}$ , τότε έχουν μία μόνο κοινή ρίζα, τον αριθμό 3.

Ιστοσελίδα · #10

Η άσκηση αυτή ήταν θέμα στις εισαγωγικές εξετάσεις της σχολής Ικάρων, το 1978.

Κοινή ρίζα εξισώσεων

Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Re: Κοινή ρίζα εξισώσεων

Μέλη σε σύνδεση